Question

已知抛物线C：y＝ax²＋bx＋c(a＜0)过原点，与x轴的另一个交点为B(4，0)，A为抛物线C的顶点．

(1)如图，若∠AOB＝60°，求抛物线C的解析式；

(2)如图，若直线OA的解析式为y＝x，将抛物线C绕原点O旋转180°得到抛物线，求抛物线C、的解析式；

(3)在(2)的条件下，设为抛物线的顶点，求抛物线C或上使得PB＝P的点P的坐标．

Answer 1

答案：
解析：

(1)连接AB．∵A点是抛物线C的顶点，且C交x轴于O、B，∴AO＝AB， 　　又∵∠AOB＝60°，∴△ABO是等边三角形　　1分 　　过A作AD⊥x轴于D，在Rt△OAD中，易求出OD＝2，AD＝， 　　∴顶点A的坐标为(2，)　　2分 　　设抛物线C的解析式为(a≠0)，将O(0，0)的坐标代入，可求a＝， 　　∴抛物线C的解析式为　　3分 　　(2)过A作AE⊥OB于E， 　　∵抛物线C：过原点和B(4，0)，顶点为A，∴OE＝OB＝2， 　　又∵直线OA的解析式为y＝x，∴AE＝OE＝2，∴点A的坐标为(2，2)　　4分 　　将A、B、O的坐标代入中，易求a＝， 　　∴抛物线C的解析式为　　5分 　　又∵抛物线C、关于原点对称，∴抛物线的解析式为　　6分 　　(3)作B的垂直平分线l，分别交B、x轴于M、N(n，0)， 　　由前可知，抛物线的顶点为(－2，－2)，故B的中点M的坐标为(1，－1)， 　　作MH⊥x轴于H，易证△MHN∽△BHM，则，即， 　　∴，即N点的坐标为(，0)． 　　∵直线l过点M(1，－1)、N(，0)，∴直线l的解析式为　　8分 　　解得，． 　　∴在抛物线C上存在两点使得，其坐标分别为 　　P1(，)，P2(，)　　9分 　　解得，． 　　∴在抛物线上也存在两点使得，其坐标分别为 　　P3(－5＋，17－3)，P4(－5－，17＋3)　　10分 　　(用两点间的距离公式解决亦可)