Question

4．如图，△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，直线EF与直线AI，BI，DI分别相交于点M，N，K．
证明：DM•KE=DN•KF．

Answer 1

分析 易知I，D，E，B四点共圆．作出∠AID=∠MED，于是I，D，E，M四点共圆．从而I，D，B，E，M五点共圆，∠IMB=∠IEB=90°，即AM⊥BM．同理，I，D，A，N，F五点共圆，且BN⊥AN．设直线AN，BM交于点G，则易知点I为△GAB的垂心．又ID⊥AB，得出G，I，D共线．由G，N，D，B四点共圆，知∠ADN=∠G．同理∠BDM=∠G．得出DK平分∠MDN，从而$\frac{DM}{DN}=\frac{KM}{KN}$，由I，D，E，M；I，D，N，F分别共圆，由割线定理得出KM•KE=KI•KD=KF•KN，得出$\frac{KM}{KN}=\frac{KF}{KE}$，即可得出结论．

解答 证明：连接IE，如图所示：
∵△ABC的内切圆I在边AB，BC，CA上的切点分别是D，E，F，
∴ID⊥AB，IE⊥BC，
∴∠IDB=∠IEB=90°，
∴∠IDB+∠IEB=180°，
∴I，D，B，E四点共圆．
又∵∠AID=90°-∠IAD，∠MED=∠FDA=90°-∠IAD，
∴∠AID=∠MED，
∴I，D，E，M四点共圆．
∴I，D，B，E，M五点共圆，∠IMB=∠IEB=90°，
即AM⊥BM．
同理，I，D，A，N，F五点共圆，且BN⊥AN．
设直线AN，BM交于点G，则点I为△GAB的垂心．又ID⊥AB，
∴G，I，D共线．
∵G，N，D，B四点共圆，
∴∠ADN=∠G．
同理∠BDM=∠G．
∴DK平分∠MDN，
∴$\frac{DM}{DN}=\frac{KM}{KN}$①．                           
又由I，D，E，M；I，D，N，F分别共圆，
∴KM•KE=KI•KD=KF•KN，
∴$\frac{KM}{KN}=\frac{KF}{KE}$②．                           
由①，②得：$\frac{DM}{DN}=\frac{KF}{KE}$，
∴DM•KE=DN•KF．

点评 本题考查了四点共圆、圆周角定理、角平分线的性质定理、割线定理等知识；本题综合性强，有一定难度，证明四点共圆是解决问题的关键．