【题目】已知抛物线y=ax2+bx+c经过点A(-1,0),且经过直线y=x-2与x轴的交点B及与y轴的交点C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)求抛物线的顶点坐标;
(3)若点M在第四象限内的抛物线上,且tan∠MOC=1,求M点的坐标及四边形OBMC面积.
【答案】(1)y=x2-x-2;(2)顶点坐标为(,-);(3)M(,-),四边形OBMC的面积为2.
【解析】
(1)先根据坐标轴上点的坐标特征确定B(2,0),C(0,2),然后利用待定系数法确定二次函数解析式;
(2)把(1)的解析式配成顶点式得y= ,然后根据二次函数的性质确定顶点坐标;
(3)由于△OBC为等腰直角三角形,而OM⊥BC,则OM的解析式为,可设,把它代入二次函数解析式得,解得 .则M点坐标为 ,然后计算出OM=2,BC= ,再利用三角形面积公式计算四边形OBMC的面积.
解:(1)直线y=x-2与坐标轴的交点坐标分别为B(2,0),C(0,-2),以A、B、C三点的坐标分别代入抛物线y=ax2+bx+c中,得
解得
∴所求抛物线的解析式是y=x2-x-2;
(2)∵y=x2-x-2=,
∴抛物线的顶点坐标为(,-);
(3)∵点M在第四象限内的抛物线上,且tan∠MOC=1,
∴设M(x,-x),
因为点M在抛物线上,∴x2-x-2=-x.
解得x1=,x2=,
因点M在第四象限,取
∵OB=OC,∠BOC=90°,
∴∠OCB=45°,
∵∠COM=45°,
∴∠ODC=90°,
即OM⊥BC,
得OM=2,BC=2,
∴四边形OBMC的面积为OMBC=2.
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【题目】如图所示:在△ABC中,AB=AC=5,BC=8,D,E分别为BC.AB边上一点,∠ADE=∠C,
(1)求证:AD2=AEAB;
(2)∠ADC与∠BED是否相等?请说明理由;
(3)若CD=2,求AD的长.
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【题目】反比例函数y=和y=在第一象限内的图象如图所示,点P在y=的图象上,PC⊥x轴,交y=的图象于点A,PD⊥y轴,交y=的图象于点B,当点P在y=的图象上运动时,以下结论:①△ODB与△OCA的面积相等;②PA与PB始终相等;③四边形PAOB的面积不会发生变化;其中一定正确的是( )
A. ①②③ B. ① C. ②③ D. ①③
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【题目】在平面直角坐标系xOy中,抛物线y=ax2+bx+3a过点A(﹣1,0).
(1)求抛物线的对称轴;
(2)直线y=x+4与y轴交于点B,与该抛物线对称轴交于点C.如果该抛物线与线段BC有交点,结合函数的图象,求a的取值范围.
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【题目】下列命题:①所有锐角三角函数值都为正数;②解直角三角形时只需已知除直角外的两个元素;③Rt△ABC中,∠B=90°,则sin2A+cos2A=1;④Rt△ABC中,∠A=90°,则tanCsinC=cosC.其中正确的命题有( )
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
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【题目】如图,△ABC的三个顶点坐标分别为A(-2,4),B(-3,1),C(-1,1),以坐标原点O为位似中心,相似比为2,在第二象限内将△ABC放大,放大后得到△A'B'C'.
(1)画出放大后的△A'B'C',并写出点A',B',C'的坐标.(点A,B,C的对应点为A',B',C')
(2)求△A'B'C'的面积.
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【题目】如图,在两建筑物之间有一旗杆,高15米,从A点经过旗杆顶点恰好看到矮建筑物的墙角C点,且俯角α为60°,又从A点测得D点的俯角β为30°,若旗杆底点G为BC的中点,则矮建筑物的高CD为( )
A. 20米 B. 米 C. 米 D. 米
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,BE⊥CD,BF⊥AD,垂足分别为E,F,CE=2,DF=1,∠EBF=60°,则平行四边形ABCD的周长为_____.
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【题目】(3分)如图,在直角坐标系中,直线与坐标轴交于A、B两点,与双曲线()交于点C,过点C作CD⊥x轴,垂足为D,且OA=AD,则以下结论:
①;
②当0<x<3时,;
③如图,当x=3时,EF=;
④当x>0时,随x的增大而增大,随x的增大而减小.
其中正确结论的个数是( )
A.1 B.2 C.3 D.4
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