Question

10．如图，在平面直角坐标系中，矩形AOBC的边长为AO=6，BO=8，
（1）如图①，动点P以每秒2个单位的速度由点C向点A沿线段CA运动，同时点Q以每秒4个单位的速度由点O向点C沿线段OC运动，求当 P、Q、C三点构成等腰三角形时点P的坐标．
（2）如图②，E是OB的中点，将△AOE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形AOBC内部，延长AF交BC于点G．求点G的坐标．

Answer 1

分析 （1）分CQ=CP、PC=PQ和QC=PQ三种情况，根据等腰三角形的性质计算即可；
（2）连接EG，由翻转变换的性质得到△AOE≌△AFE，根据全等三角形的性质得到∠EFG=∠OBC=90°，证明Rt△EFG≌Rt△EBG得到∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，得到△AOE∽△AEG，根据相似三角形的性质列出比例式，计算即可．

解答 解：（1）设运动的时间为t秒，
由勾股定理得，OC=$\sqrt{O{A}^{2}+A{C}^{2}}$=10，
当CQ=CP时，2t=10-4t，
解得，t=$\frac{5}{3}$，
此时CP=2×$\frac{5}{3}$=$\frac{10}{3}$，
∴AP=8-$\frac{10}{3}$=$\frac{14}{3}$，
P点坐标为（$\frac{14}{3}$，6），
当PC=PQ时，
如图①，过点Q作AC的垂线交AC于点E，CQ=10-4t，CP=2t．
∵△CEQ∽△CAO，
∴EQ=$\frac{3}{5}$CQ=$\frac{3}{5}$（10-4t）=6-$\frac{12}{5}$t，PE=$\frac{4}{5}$（10-4t）-2t=8-$\frac{16}{5}$t-2t=8-$\frac{26}{5}$t，
由勾股定理得，（6-$\frac{12}{5}$t）²+（8-$\frac{26}{5}$t）²=（2t）²，
整理得：36t²-140t+125=0，
解得，t₁=$\frac{25}{18}$，t₂=$\frac{5}{2}$（舍去），
此时，AP=8×$\frac{25}{18}$×2=$\frac{47}{9}$，
∴P点坐标为（$\frac{47}{9}$，6），
当QC=PQ时，如图②，过点Q作AC的垂线交AC于点F，
CQ=10-4t，CP=2t，
∵△CFQ∽△CAO，
∴QF═$\frac{3}{5}$（10-4t）=6-$\frac{12}{5}$t，PF=2t-$\frac{4}{5}$（10-4t）=$\frac{26}{5}$t-8，
则（6-$\frac{12}{5}$t）²+（$\frac{26}{5}$t-8）²=（10-4t）²，
整理得，21t²-40t=0，
解得，t₁=$\frac{40}{21}$，t₂=0（舍去），
此时，AP=8-$\frac{40}{21}$×2=$\frac{88}{21}$，
则P点坐标为（$\frac{88}{21}$，6），
综上所述，P点坐标为（$\frac{14}{3}$，6），（$\frac{47}{9}$，6），（$\frac{88}{21}$，6）；
（2））如图③，连接EG，
由题意得：△AOE≌△AFE，
∴∠EFG=∠OBC=90°，
∵E是OB的中点，
∴EG=EG，EF=EB=4，
在Rt△EFG和Rt△EBG中，
$\left\{\begin{array}{l}{EF=EB}\\{EG=EG}\end{array}\right.$，
∴Rt△EFG≌Rt△EBG（HL）
∴∠FEG=∠BEG，∠AOB=∠AEG=90°，
∴△AOE∽△AEG，
∴AE²=AO•AG，
即36+16=6×AG，
解得，AG=$\frac{26}{3}$，
由勾股定理得，CG=$\sqrt{A{G}^{2}-A{C}^{2}}$=$\frac{10}{3}$，
∴BG=6-$\frac{10}{3}$=$\frac{8}{3}$，
G的坐标为（8，$\frac{8}{3}$）．

点评 本题考查的是翻转变换的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定和性质，掌握翻转变换的性质、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键．