Question

【题目】如图所示，AC为⊙O的直径且PA⊥AC，BC是⊙O的一条弦，直线PB交直线AC于点D，.（1）求证：直线PB是⊙O的切线；

（2）求cos∠BCA的的值.

Answer 1

【答案】（1）证明见解析；（2）cos∠BCA =

【解析】分析：（1）连接OB、OP，如图，结合相似三角形的性质可推出△BDC∽△PDO，进一步分析可得BC∥OP，由此通过角之间的等量转化便不难得到△BOP≌△AOP，至此结合全等三角形的性质，问题（1）便可得以解决；

（2）设PB=a，则BD=2a，根据切线长定理得到PA=PB=a，由此借助勾股定理以及线段间的比例关系即可用含a的代数式表示出OP以及OA的长.

详解：（1）证明：连接OB、OP .

∵ 且∠D=∠D,

∴ △BDC∽△PDO ,

∴ ∠DBC=∠DPO ,

∴ BC∥OP,

∴ ∠BCO=∠POA , ∠CBO=∠BOP.

∵ OB=OC ,

∴ ∠OCB=∠CBO ,

∴ ∠BOP=∠POA.

又∵ OB=OA， OP=OP ,

∴ △BOP≌△AOP ,

∴ ∠PBO=∠PAO.

又∵ PA⊥AC ,

∴ ∠PBO=90° ,

∴ 直线PB是⊙O的切线.

（2）由（1）知∠BCO=∠POA ,

设PB，则.

又∵ ,

∴ .

又∵ BC∥OP ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ ,

∴ cos∠BCA=cos∠POA= .