Question

如图，OA和OB是⊙O的半径，OB=2，OA⊥OB，P是OA上任一点，BP的延长线交⊙O于点Q，过点Q的⊙O的切线交OA延长线于点R．
（Ⅰ）求证：RP=RQ；
（Ⅱ）若OP=PQ，求PQ的长．

Answer 1

（1）连接OQ，
∵QR是切线，
∴∠OQR=90°，
∴∠BQO+∠PQR=90°，
∵OA⊥OB，∴∠BOA=90°，
∴∠B+∠BPO=90°，又∠BPO=∠RPQ，
∴∠B+∠RPQ=90°，
由OB=OQ得：∠B=∠BQO，
∴∠RPQ=∠RQP，
∴PR=QR；

（2）∵OP=PQ，∴∠POQ=∠PQO，
又OB=OQ，∴∠B=∠PQO，
设∠B=∠PQO=∠POQ=x，又∠BOP=90°，
根据三角形内角和定理得：
∠B+∠BOP+∠POQ+∠PQO=180°，即x+90°+x+x=180°，
解得：x=30°，即∠B=30°（2分）
∴∠RPQ=∠BPO=60°，又PR=QR，
∴△PQR为等边三角形，即PQ=QR=PR，
在直角三角形OQR中，OQ=OB=2，
根据锐角三角函数定义得：
PQ=QR=OQ•tan30°=

2

3

3

．（2分）