解:(1)设直线CE的解析式为y=kx+b(k≠0).
∵点C坐标为(0,
),E点坐标为(1,0),
∴
,
解得k=-
,b=
,即直线CE的解析式为y=-
x+
;
(2)Rt△COE中,OE=1、OC=
,
∴∠OCE=30°,则∠OCD=60°;
又CO=CD,
∴△OCD是等边三角形,作高DF⊥y轴垂足F,则OF=
OC=
,DF=
OF=
,
则点D坐标(
,
);
(3)以CE为底边且底角30°的等腰三角形有两个:①△JCE,点J(1,
);②△KCE,点K(0,
).
分析:(1)利用待定系数法求直线CE的解析式;
(2)先证得△OCD是等边三角形,然后高DF⊥y轴垂足F,利用等边三角形的性质、锐角三角函数的定义求得点D的横、纵坐标;
(3)以CE为底边且底角30°的等腰三角形有两个,且关于直线CE对称.
点评:本题考查了一次函数综合题.在求(2)中点D的坐标时,也可以利用点O与点D关于直线CE对称的性质解答.