Question

如图，△ABC的面积为1，分别取AC、BC两边的中点A₁、B₁，则四边形A₁ABB₁的面积为

3

4

，再分别取A₁C、B₁C的中点A₂、B₂，A₂C、B₂C的中点A₃、B₃，依次取下去…．利用这一图形，能直观地计算出

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=（　　）

• A、1
• B、

  4n-1

  4n

• C、

  4n+1

  4n

• D、1-

  1

  4n

Answer 1

考点：相似三角形的判定与性质,三角形中位线定理

专题：规律型

分析：由△CA₁B₁∽△CAB得出面积比等于相似比的平方，得出△CA₁B₁的面积为

1

4

，因此四边形A₁ABB₁的面积为1-

1

4

，以此类推．四边形的面积为

1

4

-

1

42

，

1

42

-

1

43

，…，根据规律求出式子的值．

解答：解：∵A₁、B₁分别是AC、BC的中点，
∴A₁B₁是△ABC的中位线，
∴A₁B₁∥AB，A1B1=

1

2

AB，
∴△A₁B₁C∽△ABC，
∴

S△A1B1C

S△ABC

=(

A1B1

AB

)2=

1

4

，
∵S_△ABC=1，
∴S△A1B1C=

1

4

，S四边形A1ABB1=1-

1

4

=

3

4

，
同理得：

3

42

=

1

4

-

1

42

，

3

43

=

1

42

-

1

43

，…，

3

4n

=

1

4n-1

-

1

4n

，
∴

3

4

+

3

42

+

3

43

+…+

3

4n

=1-

1

4

+

1

4

-

1

42

+

1

42

-

1

43

+…+

1

4n-1

-

1

4n

=1-

1

4n

；
故选：D

点评：本题考查了三角形中位线定理和相似三角形的判定与性质；相似三角形面积比等于相似比的平方是关键．