练习册

  • 练习册
  • 试题
    精英家教网 > 初中数学 > 题目详情
    如图，在平面直角坐标系xOy中，Rt△ABC的A、B两个顶点在x轴上，顶点C在y轴的负半轴上．已知OA=4OB，AC=2BC=2
    		5
    ．
    （1）求点A、B、C的坐标；
    （2）若点C关于原点的对称点为C′，试问在AB的垂直平分线上是否存在一点G，使得△GBC′的周长最小？若存在，求出点G的坐标和最小周长；若不存在，请说明理由．
    （3）设点P是直线BC上异于点B、点C的一个动点，过点P作x轴的平行线交直线AC于点Q，过点Q作QM垂直于x轴于点M，再过点P作PN垂直于x轴于点N，得到矩形PQMN．则在点P的运动过程中，当矩形PQMN为正方形时，求该正方形的边长．
    分析：（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k，在Rt△ABC中利用勾股定理可求出k的值，故可得出A、B、C三点的坐标；
    （2）连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G．连接GB，BC′，根据点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2），可求出C′（0，2），利用待定系数法求出直线AC′的解析式故可求出G点坐标，进而可得出结论；
    （3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方．当点P在线段BC之间时（如图2），设正方形PQMN的边长为t，求出直线AC的解析式，由正方形的性质可求出P、Q、M、N点的坐标，故可得出MN的长；同理当点P在直线BC的左下方时可求出MN的长．
    解答：解：（1）设OB=k（k＞0），则OA=4k，AB=5k，
    ∵AC=2BC=2
    		5
    ，∠ACB=90°，
    ∴（2
    		5
    ）2+（
    		5
    ）2=（5k）2，
     解得：k=1，
    ∴OB=1，OA=4，
    ∴A（-4，0），B（1，0），
    ∵OC=
    		CB2+OB2
    =2，
    ∴C（0，-2）；

    （2）如图1，连接AC′，由几何知识知AC′与AB的垂直平分线l的交点即为△GBC′的周长最小时的点G．
    连接GB，BC′，
    ∵点C′与点C关于原点对称，且C（0，-2），
    ∴C′（0，2），
    ∵A（-4，0），B（1，0），
    ∴直线AC′的解析式为：y=
    1
    2
    x+2，
    直线l的解析式为：x=-
    3
    2
    ，
    ∴点G（-
    3
    2
    ，
    5
    4
    ），
    ∵BC′=
    		12+22
    =
    		5
    ，AC′=
    		42+22
    =2
    		5

    ∴△GBC′的最小周长为：
    GB+GC′+BC′=AC′+BC′=3
    		5
    ；

    （3）由图易知点P不可能在直线BC的点B右上方．
    当点P在线段BC之间时（如图2），
    设正方形PQMN的边长为t．
    ∵A（-4，0），B（1，0），C（0，-2）
    ∴直线AC的解析式为：y=-
    1
    2
    x-2，
    直线BC的解析式为：y=2x-2，
    ∴点P（
    2-t
    2
    ，-t），点Q（2t-4，-t），
    ∴点N（
    2-t
    2
    ，0），点M（2t-4，0），
    ∴MN=-2t+4+
    2-t
    2
    =t，解得t=
    10
    7
    ，
    当点P在直线BC的左下方时，同理可得点N（
    2-t
    2
    ，0），点M（2t-4，0），此时
    MN=2t-4-
    2-t
    2
    =t，解得t=
    10
    3
    ．
    综上所述，正方形PQMN的边长为
    10
    7
    或
    10
    3
    ．
    点评：本题考查的是一次函数综合题，涉及到勾股定理、用待定系数法求一次函数的解析式及正方形的性质等知识，难度较大．
    练习册系列答案
    年级 高中课程 年级 初中课程
    高一 高一免费课程推荐！ 初一 初一免费课程推荐！
    高二 高二免费课程推荐！ 初二 初二免费课程推荐！
    高三 高三免费课程推荐！ 初三 初三免费课程推荐！
    相关习题

    科目：初中数学 来源： 题型：

    精英家教网如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连接PD．
    （1）求点B的坐标；
    （2）当∠CPD=∠OAB，且
    BD
    AB
    =
    5
    8
    ，求这时点P的坐标．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    （2012•渝北区一模）如图，在平面直角坐标xoy中，以坐标原点O为圆心，3为半径画圆，从此圆内（包括边界）的所有整数点（横、纵坐标均为整数）中任意选取一个点，其横、纵坐标之和为0的概率是
    5
    29
    5
    29
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，等腰梯形ABCD的下底在x轴上，且B点坐标为（4，0），D点坐标为（0，3），则AC长为
    5
    5
    ．

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标xOy中，已知点A（-5，0），P是反比例函数y=
    k
    x
    图象上一点，PA=OA，S△PAO=10，则反比例函数y=
    k
    x
    的解析式为（　　）

    查看答案和解析>>

    科目：初中数学 来源： 题型：

    如图，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，CB∥OA，OC=AB=4，BC=6，∠COA=45°，动点P从点O出发，在梯形OABC的边上运动，路径为O→A→B→C，到达点C时停止．作直线CP．
    （1）求梯形OABC的面积；
    （2）当直线CP把梯形OABC的面积分成相等的两部分时，求直线CP的解析式；
    （3）当△OCP是等腰三角形时，请写出点P的坐标（不要求过程，只需写出结果）．

    查看答案和解析>>

    同步练习册答案