Question

如图，以矩形ABCD的边CD为直径作⊙O，交矩形的对角线BD于点E，点F是BC边的中点，连接EF．
（1）试判断直线EF与⊙O的位置关系，并说明理由；
（2）若DC=2，EF=，P是⊙O上除E、C两点外的任意一点，则∠EPC的度数为______．

Answer 1

解：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：
如图，连接OE、OF．
∵OD=OE，
∴∠1=∠D．
∵点F是BC的中点，点O是DC的中点，
∴OF∥BD，
∴∠3=∠D，∠2=∠1，
∴∠2=∠3．
∴在△EFO与△CFO中，，
∴△EFO≌△CFO（SAS），
∴∠FEO=∠FCO=90°，
∴直线EF与⊙O相切．

（2）如图，连接DF．
∵由（1）知，△EFO≌△CFO，
∴FC=EF=．
∴BC=2
在直角△FDC中，tan∠D==，
∴∠D=60°．
∵点E、P、C、D四点共圆，
∴∠EPC+∠D=180°，
∴∠EPC=120°．
故填：120°．
分析：（1）直线EF与⊙O相切．理由如下：如图，连接OE、OF．通过△EFO≌△CFO（SAS），证得∠FEO=∠FCO=90°，则直线EF与⊙O相切．
（2）根据圆内接四边形的性质得到∠EPC+∠D=180°，利用（1）中的全等三角形的对应边相等求得FC=EF=，所以通过解直角△BCD来求∠D的度数即可．
点评：本题考查了切线的判定．要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可．