Question

【题目】如图，抛物线经过x轴上的点A（1，0）和点B及y轴上的点C，经过B、C两点的直线为．

①求抛物线的解析式．

②点P从A出发，在线段AB上以每秒1个单位的速度向B运动，同时点E从B出发，在线段BC上以每秒2个单位的速度向C运动．当其中一个点到达终点时，另一点也停止运动．设运动时间为t秒，求t为何值时，△PBE的面积最大并求出最大值．

③过点A作于点M，过抛物线上一动点N（不与点B、C重合）作直线AM的平行线交直线BC于点Q．若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，求点N的横坐标．

Answer 1

【答案】①；②当时，△PBE的面积最大，最大值为；③点N的横坐标为：4或或．

【解析】

①点B、C在直线为上，则B（﹣n，0）、C（0，n），点A（1，0）在抛物线上，所以，解得，，因此抛物线解析式：；

②先求出点P到BC的高h为，于是，当时，△PBE的面积最大，最大值为；

③由①知，BC所在直线为：，所以点A到直线BC的距离，过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．设，则、，易证△PQN为等腰直角三角形，即，，Ⅰ．，所以解得（舍去），，Ⅱ．，解得，（舍去），Ⅲ．，，解得（舍去），．

解：①∵点B、C在直线为上，

∴B（﹣n，0）、C（0，n），

∵点A（1，0）在抛物线上，

∴，

∴，，

∴抛物线解析式：；

②由题意，得，

，，

由①知，，

∴点P到BC的高h为，

∴，

当时，△PBE的面积最大，最大值为；

③由①知，BC所在直线为：，

∴点A到直线BC的距离，

过点N作x轴的垂线交直线BC于点P，交x轴于点H．

设，则、，

易证△PQN为等腰直角三角形，即，

∴，

Ⅰ．，

∴

解得，，

∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，

∴；

Ⅱ．，

∴

解得，，

∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，

，

∴，

Ⅲ．，

∴，

解得，，

∵点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，

，

∴，

综上所述，若点A、M、N、Q为顶点的四边形是平行四边形，点N的横坐标为：4或或．