Question

7．如图，在?ABCD中，∠ABC的平分线交AD于点E，过点D作BE的平行线交于BC于F．
（1）求证：△ABE≌△CDF；
（2）若AB=6，BC=8，求DE的长．

Answer 1

分析 （1）由平行四边形的性质得出AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，证出四边形BEDF是平行四边形，得出DE=BF，由SAS证明△ABE≌△CDF即可；
（2）根据四边形ABCD为平行四边形可得AE∥BC，根据平行线的性质和角平分线的性质可得出∠ABE=∠AEB，继而可得AB=AE，然后根据已知可求得DE的长度．

解答 （1）证明：∵四边形ABCD是平行四边形
∴AD∥BC，AD=BC，AB=CD，∠A=∠C，
∵BE∥DF，
∴四边形BEDF是平行四边形，
∴DE=BF，
∴AD-DE=BC-BF，
即：AE=CF，
在△ABE和△CDF中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=CD}&{\;}\\{∠A=∠C}&{\;}\\{AE=CF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABE≌CDF（SAS）；　　　 
（2）解：∵AD∥BC，
∴∠EBF=∠AEB，
又∵BE平分∠EBF，
∴∠EBF=∠ABE，
∴∠AEB=∠ABE，
∴AE=AB=6，
又∵BC=AD=8，
∴DE=AD-AE=2．

点评 本题考查了平行四边形的性质于判定、全等三角形的判定、平行线的性质、等腰三角形的判定；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解决问题的关键解答本题的关键．