Question

如图所示，在平面直角坐标中，四边形OABC是等腰梯形，BC∥OA，OA=7，AB=4，∠COA=60°，点P为x轴上的一个动点，但是点P不与点0、点A重合．连接CP，D点是线段AB上一点，连PD．
（1）求点B的坐标；
（2）当点P运动到什么位置时，△OCP为等腰三角形，求这时点P的坐标；
（3）当∠CPD=∠OAB，且

BD

AB

=

5

8

，求这时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）过B作BQ⊥OA于Q易得∠COA=∠BAQ=60°，在Rt△BQA中，根据三角函数的定义可得QB的长，进而可得OQ的长，即可得B的坐标，
（2）分点P在x正半轴上与x负半轴上上两种情况讨论，结合等腰三角形的性质，可得OP、OC的长，进而可得答案，
（3）根据题意易得△COP∽△PAD，进而可得比例关系

OP

AD

=

OC

AP

，代入数据可得答案．

解答：解：（1）作BQ⊥x轴于Q．
∵四边形OABC是等腰梯形，
∴∠BAQ=∠COA=60°
在Rt△BQA中，BA=4，
∴BQ=AB•sin∠BAO=4×sin60°=2

3

，
AQ=AB•cos∠BAO=4×cos60°=2，
∴OQ=OA-AQ=7-2=5
点B在第一象限内，
∴点B的坐标为（5，2

3

）

（2）若△OCP为等腰三角形，
∵∠COP=60°，
∴△OCP为等边三角形或是顶角为120°的等腰三角形，
若△OCP为等边三角形，OP=OC=PC=4，且点P在x轴的正半轴上，
∴点P的坐标为（4，0），
若△OCP是顶角为120°的等腰三角形，则点P在x轴的负半轴上，且OP=OC=4，
∴点P的坐标为（-4，0），
∴点P的坐标为（4，0）或（-4，0），

（3）∵∠CPA=∠OCP+∠COP，
即∠CPD+∠DPA=∠COP+∠OCP，
而∠CPD=∠OAB=∠COP=60°，
∴∠OCP=∠DPA，
∵∠COP=∠BAP，
∴△OCP∽△APD，
∴

OP

AD

=

OC

AP

，
∴OP•AP=OC•AD，
∵

BD

AB

=

5

8

，
∴BD=

5

8

AB=

5

2

，AD=AB-BD=4-

5

2

=

3

2

，
∵AP=OA-OP=7-OP，
∴OP（7-OP）=4×

3

2

，
解得OP=1或6，
∴点P坐标为（1，0）或（6，0）．

点评：本题主要考查了坐标与图形的性质，相似三角形的判定与性质，是一道动态几何压轴题，对学生的分类思想作了重点的考查，是一道很不错的题，难度较大．