Question

7．如图，已知抛物线y=-x²+bx+3与x轴相交于点A和点B（点A在点B的左侧），与y轴交于点C，且OB=OC，点D是抛物线的顶点，直线AC和BD交于点E．
（1）求点D的坐标；
（2）连接CD、BC，求∠DBC余切值；
（3）设点M在线段CA的延长线上，如果△EBM和△ABC相似，求点M的坐标．

Answer 1

分析 （1）根据题意求出点C的坐标、点B的坐标，利用待定系数法求出抛物线的解析式，根据二次函数的性质求出顶点坐标；
（2）根据等腰直角三角形的性质得到∠DCB=90°，根据余切的定义计算即可；
（3）运用待定系数法求出直线CA的解析式，设点M的坐标为（x，3x+3），根据相似三角形的性质得到∠ACB=∠BME，根据等腰三角形的性质得到BM=BC，根据勾股定理列出方程，解方程即可．

解答 解：（1）∵已知抛物线y=-x²+bx+3与y轴交于点C，
∴点C的坐标为：（0，3），
∵OB=OC，
∴点B的坐标为：（3，0），
∴-9+3b+3=0，
解得，b=2，
∴抛物线的解析式为：y=-x²+2x+3，
y=-x²+2x+3=-（x-1）²+4，
∴顶点D的坐标为（1，4）；
（2）如图1，作DH⊥y轴于H，
则CH=DH=1，
∴∠HCD=∠HDC=45°，
∵OB=OC，
∴∠OCB=∠OBC=45°，
∴∠DCB=90°，
∴cot∠DBC=$\frac{BC}{DC}$=$\frac{3\sqrt{2}}{\sqrt{2}}$=3；
（3）-x²+2x+3=0，
解得，x₁=-1，x₂=3，
∴点A的坐标为：（-1，0），
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{1}{3}$，又$\frac{DC}{BC}$=$\frac{1}{3}$，
∴$\frac{OA}{OC}$=$\frac{DC}{BC}$，
∴Rt△AOC∽Rt△DCB，
∴∠ACO=∠DBC，
∵∠ACB=∠ACO+45°=∠DBC+∠E，
∴∠E=45°，
∵△EBM和△ABC相似，∠E=∠ABC=45°，
∴∠ACB=∠BME，
∴BM=BC，
设直线CA的解析式为：y=kx+b，
则$\left\{\begin{array}{l}{-k+b=0}\\{b=3}\end{array}\right.$，
解得，$\left\{\begin{array}{l}{k=-3}\\{b=3}\end{array}\right.$，
则直线CA的解析式为：y=3x+3，
设点M的坐标为（x，3x+3），
则（x-3）²+（3x+3）²=18，
解得，x₁=0（舍去），x₂=-$\frac{6}{5}$，
x₂=-$\frac{6}{5}$时，y=-$\frac{3}{5}$，
∴点M的坐标为（-$\frac{6}{5}$，-$\frac{3}{5}$）．

点评 本题考查的是二次函数的综合运用、相似三角形的判定和性质，掌握二次函数的性质、待定系数法求函数解析式的一般步骤是解题的关键．