Question

8．在平面直角坐标系中，已知抛物线经过A（-4，0），B（0，-4），C（2，0）三点．
（1）求抛物线的解析式；
（2）已知点D（m，m-2）在第三象限的抛物线上，求点D关于直线AB对称的点E的坐标；
（3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线y=-x上的动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，求出相应点Q的坐标．

Answer 1

分析 （1）设交点式y=a（x+4）（x-2），然后把B点坐标代入求出a即可得到抛物线解析式；
（2）先判断△AOB为等腰直角三角形得到∠ABO=45°，再把把D（m，m-2）代入y=$\frac{1}{2}$x²+x-4求出m得到D（-2，-4），则利用D嗲和B点坐标可判断BD∥x轴，BD=2，如图1，根据对称的性质BE=BD=2，BF垂直平分DE，再判断点E在y轴上，于是利用OE=OB-BE=2可得到E点坐标；
（3）如图2，根据平行四边形的判定方法当PQ=OB=4，PQ∥OB时，点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，设Q（t，-t），则P（t，$\frac{1}{2}$t²+t-4），分类讨论：当OQ为边时，四边形OQPB为平行四边形，则|-t-（t，$\frac{1}{2}$t²+t-4）|=4，当OQ为对角线时，四边形OBQP为平行四边形，则$\frac{1}{2}$t²+t-4-t=4，然后分别解方程求出t即可得到满足条件的Q点坐标．

解答 解：（1）设抛物线的解析式为y=a（x+4）（x-2），
把B（0，-4）代入得a•4•（-2）=-4，解得a=$\frac{1}{2}$，
所以抛物线解析式为y=$\frac{1}{2}$（x+4）（x-2），即y=$\frac{1}{2}$x²+x-4；
（2）∵A（-4，0），B（0，-4），
∴OA=OB，
∴△AOB为等腰直角三角形，
∴∠ABO=45°，
把D（m，m-2）代入y=$\frac{1}{2}$x²+x-4得$\frac{1}{2}$m²+m-4=m-2，解得m₁=2，m₂=-2，
∴D（-2，-4），
而B（0，-4），
∴BD∥x轴，BD=2，
∵点D和点E关于直线AB对称（DE交AB于F），如图1，
∴BE=BD=2，BF垂直平分DE，
∴∠DBF=∠EBF=45°，
∴∠DBE=90°，
∴点E在y轴上，
而OE=OB-BE=2，
∴E点坐标为（0，-2）；
（3）判断有2个位置能够使得点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形．如图2，
当PQ=OB=4，PQ∥OB时，点P、Q、B、O为顶点的四边形为平行四边形，
设Q（t，-t），则P（t，$\frac{1}{2}$t²+t-4），
当OQ为边时，四边形OQPB为平行四边形，则-t-（$\frac{1}{2}$t²+t-4）=4，解得t₁=0（舍去），t₂=-4，此时Q点坐标为（-4，4），或$\frac{1}{2}$t²+t-4+t=4，解得t₁=-2+$\sqrt{5}$（舍去），t₂=-2-$\sqrt{5}$，此时Q点的坐标为（-2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$）
当OQ为对角线时，四边形OBQP为平行四边形，则$\frac{1}{2}$t²+t-4-t=4，解得t₁=-2+2$\sqrt{5}$，t₂=-2-2$\sqrt{5}$（舍去），此时Q点坐标为（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$），
综上所述，Q点的坐标为（-4，4）或（-2+2$\sqrt{5}$，2-2$\sqrt{5}$）或（-2-$\sqrt{5}$，2+$\sqrt{5}$）．

点评 本题考查了二次函数的综合题：熟练掌握二次函数图象上点的坐标特征、二次函数的性质和平行四边形的判定方法和对称的性质；会运用待定系数法求函数解析式；理解坐标与图形性质；会运用分类讨论的思想解决数学问题．