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(1)如图1,在平行四边形ABCD中,E、F为BC上两点,且BE=CF,AF=DE.
求证:①△ABF≌△DCE;②四边形ABCD是矩形.
(2)如图2,已知△ABC是等边三角形,D点是AC的中点,延长BC到E,使CE=CD.
①请用尺规作图的方法,过点D作DM⊥BE,垂足为M;(不写作法,保留作图痕迹)
②求证:BM=EM.
分析:(1)①通过全等三角形的判定定理SSS证得△ABF≌△DCE,
②由①中的全等三角形得到对应角∠B=∠C,结合平行四边形的性质可以证得∠B=∠C=90°,故该平行四边形是矩形;
(2)①按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤做;
②先根据D点AC的中点及等边三角形三线合一的性质得出∠ABD=∠CBD=
1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,由CE=CD可得出BD=DE,进而可得出△BDE是等腰三角形,由DM⊥BE即可得出结论.
解答:(1)证明:①如图1,在平行四边形ABCD中,AB=CD.
∵BE=CF,
∴BF=CE,
∴在△ABF与△DCE中,
AB=CD
BF=CE
AF=DE

∴△ABF≌△DCE(SSS);
②由①知,△ABF≌△DCE,则∠B=∠C.
∵AB∥CD,
∴∠B+∠C=180°,
∴∠B=∠C=90°,
∴平行四边形ABCD是矩形;

(2)①如图2所示:
②如图2,∵△ABC是等边三角形,D点是AC的中点,
∴∠ABD=∠CBD=
1
2
∠ABC=
1
2
∠ACB,
又∵CE=CD,
∴∠E=∠CDE=
1
2
∠ACB,
∴∠E=∠CBD,
∴BD=DE
又∵DM⊥BE,
∴BM=EM.
点评:本题考查的是全等三角形的判定与性质,矩形的判定以及等边三角形的性质,熟知等边三角形三线合一的性质是解答(2)题的关键.
练习册系列答案
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科目:初中数学 来源: 题型:

如图1,在平行四边形ABCD中,AE⊥BC于点E,E恰为BC的中点,tanB=2.
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(1)求证:AD=AE;
(2)如图2,点P在线段BE上,作EF⊥DP于点F,连接AF,求证:DF-EF=
2
AF

(3)请你在图3中画图探究:当P为射线EC上任意一点(P不与点E重合)时,作EF垂直直线DP,垂足为点F,连接AF,线段DF、EF与AF之间有怎样的数量关系?直接写出你的结论.

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科目:初中数学 来源: 题型:

精英家教网如图1,在平行四边形ABCD中,AC=CD.
(1)求证:∠D=∠ACB;
(2)若点E、F分别为边BC、CD上的两点,且∠EAF=∠CAD.(如图2)
①求证:△ADF∽△ACE;
②求证:AE=EF.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(2012•河南)类比、转化、从特殊到一般等思想方法,在数学学习和研究中经常用到,如下是一个案例,请补充完整.
原题:如图1,在平行四边形ABCD中,点E是BC的中点,点F是线段AE上一点,BF的延长线交射线CD于点G.若
AF
EF
=3,求
CD
CG
的值.

(1)尝试探究
在图1中,过点E作EH∥AB交BG于点H,则AB和EH的数量关系是
AB=3EH
AB=3EH
,CG和EH的数量关系是
CG=2EH
CG=2EH
CD
CG
的值是
3
2
3
2

(2)类比延伸
如图2,在原题的条件下,若
AF
EF
=m(m>0),则
CD
CG
的值是
m
2
m
2
(用含有m的代数式表示),试写出解答过程.
(3)拓展迁移
如图3,梯形ABCD中,DC∥AB,点E是BC的延长线上的一点,AE和BD相交于点F.若
AB
CD
=a,
BC
BE
=b,(a>0,b>0)
,则
AF
EF
的值是
ab
ab
(用含a、b的代数式表示).

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科目:初中数学 来源: 题型:

完成下列各题:
(1)三根垂直地面的木杆甲、乙、丙,在路灯下乙.丙的影子如图1所示.试确定路灯灯泡的位置,再作出甲的影子.(不写作法,保留作图痕迹)
(2)如图2,在平行四边形ABCD中,点E,F分别在AB,CD上,AE=CF.求证:DE=BF.

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科目:初中数学 来源: 题型:

(下面提供两题备选,请在a、b中选择一道你所熟悉的题进行解答)

a、如图1,在平行四边形ABCD中,E是AD的中点,CE与BA的延长线相交于F点.连结DF.
(1)求证:四边形ACDF是平行四边形.
(2)若ACDF是矩形,试探求∠1与∠2之间的关系.
b、如图2,等腰梯形ABCD中,E、F是两腰的中点,连接线段AF,作EG∥AF,交BC于G,再连结线段FG.
(1)求证:四边形AEGF是平行四边形.
(2)若AEGF是矩形,试探求∠1与∠2之间的关系.

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