Question

（1）如图1，在平行四边形ABCD中，E、F为BC上两点，且BE=CF，AF=DE．
求证：①△ABF≌△DCE；②四边形ABCD是矩形．
（2）如图2，已知△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，延长BC到E，使CE=CD．
①请用尺规作图的方法，过点D作DM⊥BE，垂足为M；（不写作法，保留作图痕迹）
②求证：BM=EM．

Answer 1

分析：（1）①通过全等三角形的判定定理SSS证得△ABF≌△DCE，
②由①中的全等三角形得到对应角∠B=∠C，结合平行四边形的性质可以证得∠B=∠C=90°，故该平行四边形是矩形；
（2）①按照过直线外一点作已知直线的垂线步骤做；
②先根据D点AC的中点及等边三角形三线合一的性质得出∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB，由CE=CD可得出BD=DE，进而可得出△BDE是等腰三角形，由DM⊥BE即可得出结论．

解答：（1）证明：①如图1，在平行四边形ABCD中，AB=CD．
∵BE=CF，
∴BF=CE，
∴在△ABF与△DCE中，

AB=CD BF=CE AF=DE

，
∴△ABF≌△DCE（SSS）；
②由①知，△ABF≌△DCE，则∠B=∠C．
∵AB∥CD，
∴∠B+∠C=180°，
∴∠B=∠C=90°，
∴平行四边形ABCD是矩形；

（2）①如图2所示：
②如图2，∵△ABC是等边三角形，D点是AC的中点，
∴∠ABD=∠CBD=

1

2

∠ABC=

1

2

∠ACB，
又∵CE=CD，
∴∠E=∠CDE=

1

2

∠ACB，
∴∠E=∠CBD，
∴BD=DE
又∵DM⊥BE，
∴BM=EM．

点评：本题考查的是全等三角形的判定与性质，矩形的判定以及等边三角形的性质，熟知等边三角形三线合一的性质是解答（2）题的关键．