Question

在梯形ABCD中，AD∥BC，AB=AD=DC，AC⊥AB，延长CB至F，使BF=CD．
（1）求∠ABC的度数；
（2）求证：△CAF为等腰三角形；
（3）如果设AD=x，求四边形ABCD的面积S（用x表示）．

Answer 1

（1）解：∵AD∥BC，AB=DC，∴∠DCB=∠ABC；
∵AD=DC，∴∠DCA=∠DAC．
∵AD∥BC，∴∠DAC=∠ACB，
则∠DCB=2∠ACB，所以∠ABC=2∠ACB．
∵AC⊥AB，∴∠ABC+∠ACB=90°，
∴∠ACB=30°，∠ABC=60°；

（2）证明：∵BF=CD，AB=DC，∴BF=AB．
∴∠F=∠BAF．
∵∠ABC=60°，∴∠F=30°．
∴∠ACB=∠F．
∴AC=AF，即：△CAF为等腰三角形；

（3）解：作AE⊥BC于E．
∵AB=AD=x，∠ABC=60°，
∴AE=x．
∵∠ACB=30°，AC⊥AB，
∴BC=2x．
∴S_梯形ABCD=×（x+2x）×x=x²．
分析：（1）梯形是等腰梯形，则∠DCB=∠ABC；△ACD是等腰三角形，则∠DCA=∠DAC．
因为AD∥BC，所以∠DAC=∠ACB，则∠DCB=2∠ACB，所以∠ABC=2∠ACB．
运用内角和定理求解；
（2）利用三角形的外角求∠F的度数，从而有∠F=∠ACB，则AC=AF，得证；
（3）作AE⊥BC于E，求出高AE，根据梯形面积公式求解面积．
点评：此题考查了等腰梯形的性质、等腰三角形的判定和性质、梯形的面积计算等知识点，综合性较强．