Question

如图，在Rt△ABC中，∠BCA=90°，AC=6cm，BC=8cm．有一动点P从B点出发，在射线BC方向移动，速度是2cm/s，在P点出发后2秒后另一个动点Q从A点出发，在射线AC方向移动，速度是1cm/s．若设P出发后时间为t秒．
（1）用含t的代数式分别表示线段AQ、PC的长度，并写出相应的t的取值范围．
（2）连结AP、PQ，求使△APQ面积为3cm²时相应的t的值．
（3）问是否存在这样的时间t，使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角？如果存在，请求出t的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：一元二次方程的应用,角平分线的性质,勾股定理

专题：动点型

分析：（1）PC的长度分两种情况讨论：0≤t≤4，t＞4；AQ的长度分两种情况讨论：0≤t≤2，t＞2；
（2）分两种情况讨论：①2＜t≤4，②t＞4；根据△APQ面积为3cm²，列出方程即可求解；
（3）①过P点作PD⊥AB于D，根据勾股定理可求AB的长，再根据角平分线的性质可知PC=PD，在Rt△PBC中，可求BP的长，可求t的一个解；
②根据一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，可求t的另外一个解．

解答：解：（1）PC=

8-2t(0≤t≤4) 2t-8(t＞4)

，
AQ=

0(0≤t≤2) t-2(t＞2)

；

（2）①当2＜t≤4时，

1

2

（8-2t）（t-2）=3，化简为t²-6t+11=0，△=36-44=-8＜0，故方程无解；
②当t＞4时，

1

2

（8-2t）（t-2）=3，化简为t²-6t+5=0，解得t₁=1（不合题意舍去），t₂=5．
故使△APQ面积为3cm²时相应的t的值为5．

（3）①过P点作PD⊥AB于D．
在Rt△ABC中，AB=

62+82

=10，
∵AP平分∠BAC，
∴PC=PD，AC=AD，
∴BD=10-6=4，
在Rt△PBC中，BP²=4²+（8-BP）²，解得BP=5，
则t=5÷2=2.5s，
②∵一个角的内角平分线和外角平分线互相垂直，
∴3：6=6：（2t-8），
解得t=10．
故使AP平分∠BAC或者∠BAC的外角时t的值为2.5或10．

点评：本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积，角平分线的性质，勾股定理，相似三角形的性质的应用，主要考查学生综合运用进行推理和计算的能力．