Question

如图，顶点为P （4 ，-4 ）的二次函数图象经过原点（0 ，0 ），点A 在该图象上，OA 交其对称轴l于点M，点M、N关于点P对称，连接AN、ON。
（1）求该二次函数的关系式；
（2）若点A的坐标是（6，-3），求△ANO的面积；
（3）当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动，请解答下列问题：
①证明：∠ANM=∠ONM；
②△ANO能否为直角三角形？如果能，请求出所有符合条件的点A的坐标，如果不能，请说明理由。

Answer 1

解：（1 ）∵二次函数图象的顶点为P （4 ，-4 ）， ∴设二次函数的关系式为，                   又∵二次函数图象经过原点（0，0）， ∴，解得，                   ∴二次函数的关系式为，即，             （2）设直线OA的解析式为y=kx，将A（6，-3）代入得-3=6k，解得，                 ∴直线OA的解析式为，   把x=4代入得y=-2， ∴M（4，-2）， 又∵点M 、N 关于点P 对称， ∴N （4 ，-6 ），MN=4 ， ∴； （3）①证明：过点A作AH⊥l于点H，，l与x轴交于点D。则，设A（）， 则直线OA 的解析式为， 则M（），N（），H（）。 ∴OD=4，ND=x0，HA=，NH=。 ∴， ∴， ∴∠ANM=∠ONM； ②不能。理由如下：分三种情况讨论： 情况1，若∠ONA是直角，由①，得∠ANM=∠ONM=450， ∴△AHN是等腰直角三角形。∴HA=NH，即。 整理，得，解得， ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角。 情况2，若∠AON是直角，则， ∵ ， ∴， 整理，得，解得。 ∴此时，故点A与原点或与点P重合。故此时不存在点A，使∠AON是直角。 情况3，若∠NAO是直角，则△AMN∽△DMO∽△DON， ∴， ∵OD=4，MD=，ND=， ∴， 整理，得， 解得， ∴此时，点A与点P重合。故此时不存在点A，使∠ONA是直角， 综上所述，当点A在对称轴l右侧的二次函数图象上运动时，△ANO不能成为直角三角形。