Question

如图，一次函数y=x+m图象过点A（1，0），交y轴于点B，C为y轴负半轴上一点，且BC=2OB，过A、C两点的抛物线交直线AB于点D，且CD∥x轴．
（1）求这条抛物线的解析式；
（2）观察图象，写出使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围；
（3）在这条抛物线上是否存在一点M使得∠ADM为直角？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）把点A（1，0）代入y=x+m得m=-1，（1分）
∴y=x-1，
∴点B坐标为（0，-1），（2分）
∵BC=2OB，OB=1，
∴BC=2，
∴OC=3，（3分）
∴C点坐标为（0，-3），（4分）
又CD∥x轴，
∴C、D关于对称轴对称，
∴点D的纵坐标为-3，（5分）
代入y=x-1得x=-2，
∴点D的坐标为（-2，-3），（6分）
设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，
由题意得：，（7分）
解得a=1，b=2，c=-3，
∴y=x²+2x-3（8分）

（2）x＜-2或x＞1（10分）

（3）∵BC=CD=2，且CD∥x轴，
∴△BCD为等腰Rt△，∠BCD=90°，（11分）
又抛物线顶点为E（-1，-4）且E到CD的距离EG=1，（12分）
∴DG=GC=1，
∴EG=DG，
∴∠EDC=45°，
∴∠EDA=90°，（13分）
∴存在点M（-1，-4），（即抛物线顶点E）使得∠ADM=90°．（14分）
分析：（1）由一次函数y=x+m图象过点A（1，0），由待定系数法即可求得m的值，即可求得点B与C的坐标，然后设抛物线的解析式为y=ax²+bx+c，利用待定系数法求得此二次函数的解析式；
（2）观察图象，根据图象即可求得使一次函数值小于二次函数值时x的取值范围；
（3）由BC=CD=2，且CD∥x轴，可得△BCD为等腰Rt△，∠BCD=90°，又抛物线顶点为E（-1，-4）且E到CD的距离为1，即可求得∠EDA=90°，所以可得存在点M（-1，-4）（即抛物线顶点E）使得∠ADM=90°．
点评：此题考查了待定系数法求函数的解析式，函数的增减性，以及等腰直角三角形性质等知识．此题综合性很强，难度较大，解题的关键是方程思想与数形结合思想的应用．