Question

3．已知：菱形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，将△AOB绕点O逆时针方向旋转得到△A′OB′，旋转角为α（0°＜α＜90°），连接A′C，B′D，B′B，且AC=6，AD=5．
（1）求BD的长；
（2）求证：A′C⊥B′D；
（3）若B′D=mA′C，请判定B′B²+（mA′C）²的值是否随旋转角α的变化而变化？若变化，请说出变化规律；若不变化，请求出B′B²+（mA′C）²的值．

Answer 1

分析 （1）由菱形的性质，得出AO，再由勾股定理，求出BD，
（2）先由菱形性质，得出∠AOB=∠COD=90°，再由旋转得出关系，判断出△A′OC∽△B′OD，即可；
（3）由△A′OC∽△B′OD，得出$\frac{BD}{A′C}=\frac{OD}{CO}$=$\frac{4}{3}$，再判断出△BB′D是直角三角形，由勾股定理计算即可．

解答 解： （1）∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，AO=CO=AC=$\frac{1}{2}$×6=3，BD=2DO．
∴∠AOB=∠COD=90°．
在Rt△AOD中，由勾股定理，得　DO=$\sqrt{A{D}^{2}-A{O}^{2}}$=4．
∴BD=2DO=2×4=8．　　
（2）∵四边形ABCD是菱形，
∴OC=OA=$\frac{1}{2}$AC，OD=OB=$\frac{1}{2}$BD，AC⊥BD，
 ∴∠AOB=∠COD=90°．
∵△AOB绕点O按逆时针方向旋转得到△A′OB′，
∴O A′=OA=OC，OB′=OB=OD，∠A′OB′=∠AOB=∠COD，
∴$\frac{OA′}{OC}=\frac{OB′}{OC}$，∠A′OB′+∠B′OC=∠COD+∠B′OC，
∴∠A′OC=∠B′OD．
∴△A′OC∽△B′OD．
∴∠OA′C=∠OB′D．
∴∠OA′C+∠CA′B′+∠A′B′O=∠A′O B′=∠CA′B′+∠A′B′O+∠OB′D=90°
∴A′C⊥B′D．
（3）B′B²+（mA′C）²的值不随旋转角α的变化而变化．
由（2）知△A′OC∽△B′OD，
∴$\frac{BD}{A′C}=\frac{OD}{CO}$=$\frac{4}{3}$，
∴B′D=A′C．
由（2）知OB=O B′=OD，
∴∠OB′B=∠OBB′，∠OB′D=∠ODB′，
∵∠OB′B+∠OBB′+∠OB′D+∠ODB′=180°，
∴∠OB′B+∠OB′D=90°．
∴△BB′D是直角三角形．
由勾股定理得　B′B²+B′D²=BD²=8²=64
∴B′B²+（ A′C）²=64．
∴B′B²+（mA′C）²的值不随旋转角α的变化而变化，其值为64．

点评 此题是四边形综合题，主要考查了直角三角形的判定和性质．相似三角形的性质和判定，菱形的性质和旋转的性质，判断出△A′OC∽△B′OD是解本题的关键．