Question

如图，已知AB是⊙O的直径，点E是弧BC的中点，DE与BC交于点F，∠CEA=∠ODB.

（1）请判断直线BD与⊙O的位置关系，并给出证明；

（2）当AB=12，BF=时，求图中阴影部分的面积。（结果保留2个有效数字，≈1.73，≈3.14）.

Answer 1

（1）解法一、

直线BD与⊙O相切                    

证明如下：

∵∠AEC=∠ODB, ∠AEC=∠ABC

∴∠ABC=∠ODB                        

∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC         

∴∠DBC+∠ODB=90°

∴∠ABD=∠ABC+∠DBC=∠DBC+∠ODB=90°

∴直线BD与⊙O相切                    

解法二、

直线BD与⊙O相切                      

证明如下：

连接AC

∵AB是⊙O的直径∴∠ACB=90°          

∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC         

∴∠OFB=90°=∠ACB ∴AC∥OD

∴∠CAB=∠DOB∵∠CEA=∠ODB=∠ABC

∴∠CAB+∠CBA=∠DOB+∠ODB=90°

∴∠DBO=90°∴直线BD与⊙O相切        

(2)

∵点E是弧BC的中点，∴OD⊥BC 

∴∠OFB=90°                             

∵BO=AB=6

∴sin∠DOB=          

∴∠DOB=60°                             

∵∠OBD=90°∴tan60°=

∴BD=                               

∴S=