Question

如图，已知抛物线的顶点坐标是（2，-1），且经过点A（5，8）
（1）求该抛物线的解析式；
（2）设该抛物线与y轴相交于点B，与x轴相交于C、D两点（点C在点D的左边），试求点B、C、D的坐标；
（3）设点P是x轴任一点，连接AP、BP．试求当AP+BP取得最小值时点P的坐标．

Answer 1

分析：（1）利用顶点式将顶点坐标（2，-1）代入，进而求出a的值即可；
（2）利用图象与坐标轴交点求法，分别求出即可；
（3）首先利用B点对称点B′（0，-3），连接AB′交x轴于点P，利用轴对称得出AP+BP的最小值为线段AB′进而利用待定系数法求出解析式，即可得出P点坐标．

解答：（1）设抛物线的解析式为y=a（x-2）²-1，
∵抛物线经过A（5，8），∴8=a（5-2）²-1，
解得：a=1
∴y=（x-2）²-1（或y=x²-4x+3）；

（2）令x=0得y=3，
故B （0，3 ）
令y=0得x²-4x+3=0，解得x₁=1，x₂=3，
进而得出（1，0 ），D （3，0 ）；

（3）取点B关于x轴的对称点B′（0，-3），连接AB′交x轴于点P．
则PB=PB′，∴AP+BP=AP+PB′=AB′，
而PB′为直线段，∴AP+BP的最小值为线段AB′．
设直线AB′的解析式为y=kx+b过点A（5，8）和B′（0，-3），
∴

8=5k+b -3=b

，
解得：

k= 11 5 b=-3

，得AB′的解析式为：y=

11

5

x-3，
当y=0时，x=

15

11

，
∴点P的坐标为（

15

11

，0）．

点评：此题主要考查了顶点式求二次函数解析式以及待定系数法求一次函数解析式以及轴对称的性质等知识，根据已知得出P点位置是解题关键．