Question

4．如图，在矩形ABCD中，点E，F，G分别是AD，CD，BC上的点，且BE=EF，BE⊥EF，EG⊥BF，若FC=1，AE=2，则BG的长是（　　）

• A． 2.6
• B． 2.5
• C． 2.4
• D． 2.3

Answer 1

分析 根据AAS可证△BAE≌△EDF，根据全等三角形的性质可得DF=AE=2，则AB=CD=DF+CF=3，在Rt△BAE中，根据勾股定理可求BE，再根据等腰直角三角形的性质可求BF，BH，在Rt△BCF中，根据勾股定理可求BC，再根据AA证明△BHG∽△BCF，再根据相似三角形的性质可求BG的长．

解答 解：如图，
∵BE⊥EF，
∴∠BEF=90°，
∵∠AEB+∠ABE=90°，∠AEB+∠DEF=90°，
∵∠ABE=∠DEF，
在△BAE与△EDF中，
$\left\{\begin{array}{l}{∠A=∠D=90°}\\{∠ABE=∠DEF}\\{BE=EF}\end{array}\right.$，
△BAE≌△EDF，
∴DF=AE=2，
∴AB=CD=DF+CF=3，
在Rt△BAE中，BE=$\sqrt{{2}^{2}+{3}^{2}}$=$\sqrt{13}$，
∴BF=$\sqrt{26}$，
∵EG⊥BF，
∴∠EHB=∠BHG=90°，BH=$\frac{1}{2}$BF=$\frac{\sqrt{26}}{2}$，
在Rt△BCF中，BC=$\sqrt{（\sqrt{26}）^{2}-{1}^{2}}$=5，
∵∠HBG=∠CBF，∠BHG=∠C=90°，
∴△BHG∽△BCF，
∴$\frac{BH}{BG}$=$\frac{BC}{BF}$，即$\frac{\frac{\sqrt{26}}{2}}{BG}$=$\frac{5}{\sqrt{26}}$，
解得BG=$\frac{13}{5}$=2.6．
故选：A．

点评 考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，关键是求出BF，BC的长．