精英家教网 > 初中数学 > 题目详情

如果正方形的一边落在三角形的一边上，其余两个顶点分别在三角形的另外两条边上，则这样的正方形叫做三角形的内接正方形．
（1）如图①，在△ABC中，BC=a，BC边上的高AD=h_a，EFGH是△ABC的内接正方形．设正方形EFGH的边长是x，求证： $数学公式$ ；
（2）在Rt△ABC中，AB=4，AC=3，∠BAC=90度．请在图②，图③中分别画出可能的内接正方形，并根据计算回答哪个内接正方形的面积最大；
（3）在锐角△ABC中，BC=a，AC=b，AB=c，且a＜b＜c．请问这个三角形的内接正方形中哪个面积最大？并说明理由．

解：（1）∵HG∥BC，
∴△AHG∽△ABC，
∴AM：AD=HG：BC，
∴（h_a-x）：h_a=x：a，
a（h_a-x）=h_ax，
ah_a-ax=h_ax，
（a+h_a）x=ah_a，
∴ $\text{[math]}$ ；

（2）根据（1）的结果，当图②的情况，BC= $\text{[math]}$ =5，则AD= $\text{[math]}$ ，
此时正方形的边长是： $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ；
当图③时，正方形的边长是 $\text{[math]}$ = $\text{[math]}$ ，
故③的情况面积大．

（3）根据（1）的结果，设三角形的面积是S，则S= $\text{[math]}$ ah_a，则x= $\text{[math]}$ ，
则当正方形的一边落在三角形的最短一边BC上时，a+h_a最小，则x最大，内接正方形的面积最大．
分析：（1）由HG∥BC，可得△AHG∽△ABC，再根据相似三角形对应高的比等于相似比，求出结果；
（2）问哪个内接正方形的面积最大，即看哪个内接正方形的边最长，由（1）可知结果；
（3）正方形的一边落在三角形的最短一边BC上的内接正方形的面积最大．
点评：本题探讨合理利用三角形的边角余料，提高材料的利用率．

练习册系列答案

年级	高中课程	年级	初中课程
高一	高一免费课程推荐！	初一	初一免费课程推荐！
高二	高二免费课程推荐！	初二	初二免费课程推荐！
高三	高三免费课程推荐！	初三	初三免费课程推荐！
更多初中、高中辅导课程推荐,点击进入>>