Question

【题目】在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，E，F分别是AB，AC上的点，且EF∥BC，作EG平分∠AEF交AC于点G，在EF上取点D，使ED＝EA，连接DG并延长，交BA的延长于点P，连接PF．

（1）求证：PD⊥EF；

（2）若ED＝DF，求∠B的大小．

（3）在（2）的条件下，若四边形AEDG的面积为S，请直接写出△PEF的面积（用含S的式子表示）．

Answer 1

【答案】（1）详见解析；（2）60°；（3）S△PEF＝3S．

【解析】

（1）由“SAS”可证△AEG≌△DEG，可得∠GAE＝∠GDE＝90°，可得PD⊥EF；

（2）由线段垂直平分线的性质可得EG＝GF，可得∠GFE＝∠GEF，由直角三角形的性质可求∠AEG＝∠GEF＝∠GFE＝30°，由平行线的性质可求解；

（3）先证△PEF是等边三角形，可证四边形AEDG的面积＝S△AEF＝S△PEF，即可求解．

（1）∵EG平分∠AEF，

∴∠AEG＝∠DEG，

在△AEG和△DEG中，

，

∴△AEG≌△DEG（SAS）

∴∠GAE＝∠GDE＝90°，

∴PD⊥EF；

（2）∵ED＝DF，PD⊥EF，

∴EG＝GF，

∴∠GFE＝∠GEF，

∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE，

∵∠AEG+∠GEF+∠GFE＝90°，

∴∠AEG＝∠GEF＝∠GFE＝30°，

∴∠AEF＝60°，

∵EF∥BC，

∴∠AEF＝∠B＝60°

（2）∵ED＝DF，PD⊥EF，

∴PE＝PF，且∠PEF＝60°，

∴△PEF是等边三角形，

∵AF⊥AB，

∴AE＝AP，

∴S△AEF＝S△AFP，

∵∠BAC＝90°，∠AEG＝30°，

∴EG＝2AG，

∴GF＝2AG，

∴2S△AEG＝S△EGF，

∵ED＝DF，

∴S△GED＝S△GFD，

∴S△GED＝S△GFD＝S△AEG，

∴四边形AEDG的面积＝S△AEF＝S△PEF，

∴S△PEF＝3S．