【题目】如图,已知为的直径,为的切线,连接,过作交于,连接交于,延长交于点
(1)求证:是的切线;
(2)若
①求的长;
②连接交于,求的值.
【答案】(1)见解析;(2)①12,②
【解析】
(1)连接OD,由切线的性质和圆周角定理可得∠CAB=90°=∠ADB,由“SAS”判定△CDO≌△CAO,则∠CDO=∠CAO=90°,然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线;
(2)①设⊙O半径为r,则OD=OB=r,在Rt△ODE中利用勾股定理得到r2+42=(r+2)2,解得r=6,即OB=6,然后根据平行线分线段成比例定理,由DB∥OC得到DE:CD=BE:OB,于是可计算出CD=12;
②由△CDO≌△CAO得到AC=CD=6,在Rt△AOC中利用勾股定理计算出OC=,再证明Rt△OAG∽△OCA,利用相似比计算出OG=,则CG=OC-OG=,易得BD=2OG=,然后利用CG∥BD得到.
证明:如图,连接
为的切线,为的直径
,
,
,
,
,且
,
,
,且是半径,
是的切线;
①设半径为,则
在中,
,解得
,
②由(1)得△CDO≌△CAO,
∴AC=CD=12,
在Rt△AOC中,OC=,
∵∠AOG=∠COA,
∴Rt△OAG∽△OCA,
∴,
即,
∴OG=,
∴CG=OC-OG=,
∵OG∥BD,OA=OB,
∴OG为△ABD的中位线,
∴BD=2OG=,
∵CG∥BD,
∴
∴
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【题目】如图,以AD为直径的半圆O经过Rt△ABC斜边AB的两个端点,交直角边AC于点E,B、E是半圆弧的三等分点,弧BE的长为π,则图中阴影部分的面积为( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,AB为△ABC外接圆⊙O的直径,点P是线段CA延长线上一点,点E在圆上且满足PE2=PAPC,连接CE,AE,OE,OE交CA于点D.
(1)求证:△PAE∽△PEC;
(2)求证:PE为⊙O的切线;
(3)若∠B=30°,,求证:DO=DP.
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【题目】如图,点的坐标是,点的坐标是,为的中点,将绕点逆时针旋转后得到,若反比例函数的图象恰好经过的中点,则的值是( )
A.24B.25C.26D.30
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【题目】如图,已知抛物线经过,,对称轴为直线.
(1)求该抛物线和直线的解析式;
(2)点是直线上方抛物线上的动点,设点的横坐标为,试用含的代数式表示的面积,并求出面积的最大值;
(3)设P点是直线上一动点,为抛物线上的点,是否存在点,使以点、、P、为顶点的四边形为平行四边形,若存在,请直接写出符合条件的所有点坐标,不存在说明理由.
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【题目】已知:△ABC三个顶点的坐标分别为A(﹣2,﹣2),B(﹣5,﹣4),C(﹣1,﹣5).
(1)画出△ABC关于x轴对称的△A1B1C1;
(2)以点O为位似中心,将△ABC放大为原来的2倍,得到△A2B2C2,请在网格中画出△A2B2C2.
(3)①点B1的坐标为 ;②求△A2B2C2的面积.
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【题目】如图,热气球的探测器显示,从热气球A处看一栋楼顶部B处的仰角度数为α,看这栋楼底部C处的俯角度数为β,热气球A处与楼的水平距离为100m,则这栋楼的高度表示为( )
A.100(tanα+tanβ)mB.100(sinα+sinβ)mC.D.
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【题目】如图,将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置,已知△ABC的面积为9,阴影部分三角形的面积为4.若AA'=1,则A'D等于( )
A. 2 B. 3 C. D.
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