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【题目】如图,已知的直径,的切线,连接,过,连接,延长交于点

1)求证:的切线;

2)若

①求的长;

②连接,求的值.

【答案】1)见解析;(2)①12

【解析】

1)连接OD,由切线的性质和圆周角定理可得∠CAB=90°=ADB,由“SAS”判定CDO≌△CAO,则∠CDO=CAO=90°,然后根据切线的判定定理可得到CD是⊙O的切线;
2)①设⊙O半径为r,则OD=OB=r,在RtODE中利用勾股定理得到r2+42=r+22,解得r=6,即OB=6,然后根据平行线分线段成比例定理,由DBOC得到DECD=BEOB,于是可计算出CD=12
②由CDO≌△CAO得到AC=CD=6,在RtAOC中利用勾股定理计算出OC=,再证明RtOAG∽△OCA,利用相似比计算出OG=,则CG=OC-OG=,易得BD=2OG=,然后利用CGBD得到

证明:如图,连接

的切线,的直径

,

,

,

,

,

,

,

,是半径,

的切线;

①设半径为,

中,

,解得

,

②由(1)得CDO≌△CAO
AC=CD=12
RtAOC中,OC=
∵∠AOG=COA
RtOAG∽△OCA


OG=
CG=OC-OG=
OGBDOA=OB
OGABD的中位线,
BD=2OG=
CGBD

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