如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,将此抛物线向右平移4个单位得抛物线y2,两条抛物线相交于点C.
(1)请直接写出抛物线y2的解析式;
(2)若点P是x轴上一动点,且满足∠CPA=∠OBA,求出所有满足条件的P点坐标;
(3)在第四象限内抛物线y2上,是否存在点Q,使得△QOC中OC边上的高h有最大值?若存在,请求出点Q的坐标及h的最大值;若不存在,请说明理由.
解:(1)抛物线向右平移4个单位的顶点坐标为(4,-1),
∴抛物线y2的解析式为。
(2)当x=0时,y1=﹣1,y1=0时,=0,解得x=1或x=-1,
∴点A(1,0),B(0,-1)。∴∠OBA=450。
联立,解得
。
∴点C的坐标为(2,3)。
∵∠CPA=∠OBA,
∴点P在点A的左边时,坐标为(-1,0);在点A的右边时,坐标为(5,0)。
∴点P的坐标为(-1,0)或(5,0)。
(3)存在。
∵点C(2,3),∴直线OC的解析式为,
设与OC平行的直线,
联立,消掉y得,
,
当△=0,方程有两个相等的实数根时,△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时,由一元二次方程根与系数的关系,得,
∴此时,。
∴存在第四象限的点Q(,
),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,
此时,解得
。
∴过点Q与OC平行的直线解析式为。
令y=0,则,解得
。
设直线与x轴的交点为E,则E(,0)。
过点C作CD⊥x轴于D,
根据勾股定理,,
则由面积公式,得,即
。
∴存在第四象限的点Q(,
),使得△QOC中OC边上的高h有最大值,最大值为
。
【解析】(1)写出平移后的抛物线的顶点坐标,然后利用顶点式解析式写出即可。
(2)根据抛物线解析式求出点A、B的坐标,然后求出∠OBA=45°,再联立两抛物线解析式求出交点C的坐标,再根据∠CPA=∠OBA分点P在点A的左边和右边两种情况求解。
(3)先求出直线OC的解析式为y=x,设与OC平行的直线y=
x+b,与抛物线y2联立消掉y得到关于x的一元二次方程,再根据与OC的距离最大时方程有且只有一个根,然后利用根的判别式△=0列式求出b的值,从而得到直线的解析式,再求出与x轴的交点E的坐标,得到OE的长度,再过点C作CD⊥x轴于D,然后根据面积公式求解即可得到h的值。
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科目:初中数学 来源:2013届广西贵港市覃塘区初中毕业班第四次教学质量监测试题数学试卷(带解析) 题型:解答题
如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,且OA=OB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以 点M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D. 设AD=m(m>0),BC=n,求n与m之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时,求∠PMQ的另一边所在直线的解析式.
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科目:初中数学 来源:2012-2013学年广西贵港市毕业班第四次教学质量监测试卷数学试卷(解析版) 题型:解答题
如图,抛物线交x轴的正半轴于点A,交y轴于点B,且OA=OB.
(1)求该抛物线的解析式;
(2)若点M为AB的中点,∠PMQ在AB的同侧以 点M为中心旋转,且∠PMQ=45°,MP交y轴于点C,MQ交x轴于点D. 设AD=m(m>0),BC=n,求n与m之间的函数关系式;
(3)在(2)的条件下,当∠PMQ的一边恰好经过该抛物线与x轴的另一个交点时,求∠PMQ的另一边所在直线的解析式.
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