Question

如图，已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）与x轴交于A、B两点（点A在点B的右侧），与y轴的正半轴交于点C，以AB为直径的圆经过点C及抛物线上的另一点D，∠ABC=60度．
（1）求点A和点B的坐标（用含有字母c的式子表示）；
（2）如果四边形ABCD的面积为

3

，求抛物线的解析式；
（3）如果当x＞1时，y随x的增大而减小，求c的取值范围．

Answer 1

分析：（1）取圆心为M，根据抛物线和圆都是轴对称图形，可证明△BCM、△ADM、△CDM都是等边三角形，其中OC是△BCM的高，解直角三角形可得BC长，即为圆的半径，从而可表示A、B两点坐标；
（2）由（1）可得AB=

4 3

3

c，CD=

2 3

3

c，OC=c，根据梯形面积公式求c，可得A、B、C三点坐标，设交点式求抛物线解析式；
（3）当x＞1时，y随x的增大而减小，联想对称轴x=-

b

2a

=

3

3

c≤1，易得c≤

3

，又抛物线交y轴于正半轴，∴0＜c≤

3

．

解答：解：（1）设线段AB的中点为M，连接CM、DM，由∠ABC=60°，MC=MB，
∴△BCM为等边三角形，
∴由抛物线的对称性可知△ADM也是等边三角形，
又∵MC=MC，∠CMD=180°-60°-60°=60°，
∴△CDM也是等边三角形，
故BC=CD=AD=

1

2

AB，
解Rt△BOC得OB=

3

3

OC=

3

3

c，BC=2OB=

2 3

3

c，
故A（

3

c，0），B（-

3

3

c，0）；

（2）当S_{四边形ABCD}=

3

时，

1

2

×（

2 3

3

c+

4 3

3

c）×c=

3

，
解得c=1，
∴A（

3

，0），B（-

3

3

，0），C（0，1），
设抛物线解析式y=a（x-

3

）（x+

3

3

），
把A（0，1）代入得a=-1，
∴y=-（x-

3

）（x+

3

3

），
即y=-x²+

2 3

3

x+1；

（3）如果当x＞1时，y随x的增大而减小，
则对称轴x=-

b

2a

=

3

3

c≤1，c≤

3

，
又∵抛物线交y轴于正半轴，
∴0＜c≤

3

．

点评：本题考查了圆与抛物线的综合运用，要求会用对称性，特殊三角形解答本题，也要熟练掌握解直角三角形的知识．