Question

14．如图，Rt△ABC 中，AB=6，AC=8．动点 E，F 同时分别从点 A，B 出发，分别沿着射线 AC 和射线 BC的方向均以每秒 1 个单位的速度运动，连接 EF，以 EF 为直径作⊙O 交射线 BC 于点 M，连接 EM，设运动的时间为t（t＞0）．

（1）BC=10，cos∠ABC=$\frac{3}{5}$．（直接写出答案）
（2）当点E在线段AC上时，用关于t的代数式表示 CE，CM．
（3）在整个运动过程中，当t为何值时，以点 E、F、M 为顶点的三角形与以点 A、B、C 为顶点的三角形相似．

Answer 1

分析 （1）先利用勾股定理计算出BC，然后根据余弦的定义求cos∠ABC的值；
（2）当点 E 在线段 AC 上时，0＜t≤8．根据题意，可知 AE=t，则 CE=AC-AE=8-t，利用圆周角定理得∠EMF=90°．则可证得△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出CM；
（3）讨论：当E点在线段 AC 上，（0＜t≤8），先由△CEM∽△CBA，利用相似比可表示出EM=$\frac{24-3t}{5}$，则FM=$\frac{18-t}{5}$，①若∠EFM=∠B时，△MFE∽△ABC，利用相似比可求出t=0（舍去）；②若∠EFM=∠ACB时，△MEF∽△ABC，利用相似比可求得t=$\frac{14}{3}$（s）；当E点在线段AC的延长线上，t＞8，若点F运动到C点时，易得t=10（s）；若点F移动到BC的延长线上，且CM＞CF，如图3，CE=t-8，CF=t-10，由△ABC∽△MEC，利用相似比可表示出CM=$\frac{4t-32}{5}$，EM=$\frac{3t-24}{5}$，当CF＜CM，则FM=CM-CF=$\frac{18-t}{5}$，则当∠EFM=∠B时，△MFE∽△ABC，于是利用相似比可求出t=$\frac{144}{13}$（s）；当CF＞CM，则FM=CF-CM=$\frac{t-18}{5}$，则当∠EFM=∠B时，△MFE∽△ABC，利用相似比求得t=0（舍去），综上所述，当t=$\frac{14}{3}$s，10s或$\frac{144}{13}$s时，以点 E、F、M 为顶点的三角形与以点 A、B、C 为顶点的三角形相似．

解答 解：（1）∵AB=6，AC=8，∠A=90°，
∴BC=$\sqrt{{6}^{2}+{8}^{2}}$=10，
∴cos∠ABC=$\frac{AB}{BC}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$；
故答案为10，$\frac{3}{5}$；
（2）当点 E 在线段 AC 上时，0＜t≤8．根据题意，可知 AE=t，则 CE=AC-AE=8-t，
∵EF 为直径，
∴∠EMF=90°．
∵∠ECM=∠BCA，
∴△CEM∽△CBA，
∴$\frac{CM}{CA}$=$\frac{CE}{CB}$，即$\frac{CM}{8}$=$\frac{8-t}{10}$，
∴CM=$\frac{32-4t}{5}$；
（3）∵△CEM∽△CBA，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{CB}$，即$\frac{EM}{6}$=$\frac{8-t}{10}$，解得EM=$\frac{24-3t}{5}$，
FM=BC-BF-CM=10-t-$\frac{32-4t}{5}$=$\frac{18-t}{5}$，
当E点在线段 AC 上，（0＜t≤8），
①若∠EFM=∠B时，△MFE∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，即$\frac{\frac{24-3t}{5}}{8}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{6}$，解得t=0（舍去）；
②若∠EFM=∠ACB时，△MEF∽△ABC，
∴$\frac{EM}{AB}$=$\frac{FM}{AC}$，即$\frac{\frac{24-3t}{5}}{6}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{8}$，解得t=$\frac{14}{3}$（s）；
当E点在线段AC的延长线上，t＞8，
若点F运动到C点时，
∵∠EFM=∠ACB，∠CME=∠A，
∴△MEF∽△ABC，此时t=10（s）；
若点F移动到BC的延长线上，且CM＞CF，如图3，CE=t-8，CF=t-10，
∵△ABC∽△MEC，
∴$\frac{CM}{AC}$=$\frac{EM}{AB}$=$\frac{CE}{BC}$，即$\frac{CM}{8}$=$\frac{EM}{6}$=$\frac{t-8}{10}$，
∴CM=$\frac{4t-32}{5}$，EM=$\frac{3t-24}{5}$，
当CF＜CM，则FM=CM-CF=$\frac{4t-32}{5}$-（t-10）=$\frac{18-t}{5}$，
若∠EFM=∠B时，△MFE∽△ABC，则$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，
即$\frac{\frac{3t-24}{5}}{8}$=$\frac{\frac{18-t}{5}}{6}$，解得t=$\frac{144}{13}$（s）；
当CF＞CM，则FM=CF-CM=t-10-$\frac{4t-32}{5}$=$\frac{t-18}{5}$，
若∠EFM=∠B时，△MFE∽△ABC，则$\frac{EM}{AC}$=$\frac{FM}{AB}$，
即$\frac{\frac{3t-24}{5}}{8}$=$\frac{\frac{t-18}{5}}{6}$，解得t=0（舍去），
综上所述，当t=$\frac{14}{3}$s，10s或$\frac{144}{13}$s时，以点 E、F、M 为顶点的三角形与以点 A、B、C 为顶点的三角形相似．

点评 本题考查了圆的综合题：熟练掌握圆周角定理和相似三角形的判定与性质；会运用相似比表示两线段之间的关系和计算线段的长；会运用分类讨论的思想数学解决问题．