Question

在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点A沿顺时针方向旋转得△A₁B₁C₁，使点C₁落在直线BC上（点C₁与点C不重合）

（1）如图1，当∠C＞60°时，写出边AB_l与边CB的位置关系，并加以证明；
（2）当∠C＜60°时，请你在如图2中用尺规作图法作出△AB₁C₁（保留作图痕迹不写作法），再猜想边AB_l与边CB的位置关系是

 

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Answer 1

考点：全等三角形的判定与性质,作图-旋转变换

专题：

分析：（1）由旋转的性质可以得出△ABC≌△A₁B₁C₁，就可以得出，∠BAC=∠B₁AC₁，AC₁=AC，进而就可以得出∠B₁AC₁=∠AC₁C就有AB₁∥BC；
（2）根据条件作出图形，如图2，根据旋转的性质可以得出△ABC≌△A₁B₁C₁，就可以得出，∠BAC=∠B₁AC₁，AC₁=AC，进而就可以得出∠B₁AC₁=∠AC₁C就有AB₁∥BC．

解答：（1）AB₁∥BC．　　　　    　 
证明：∵△ABC旋转后得到△AB₁C₁，
∴△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，AC=AC₁．
∴∠AC₁C=∠C．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C．
∴∠AC₁C=∠B₁AC₁，
∴AB₁∥BC；

（2）解：作图为如图2，AB₁∥BC． 
理由：∵△ABC旋转后得到△AB₁C₁，
∴△ABC≌△AB₁C₁，
∴∠BAC=∠B₁AC₁，AC=AC₁．
∴∠AC₁C=∠C．
∵AB=BC，
∴∠BAC=∠C．
∴∠AC₁C=∠B₁AC₁，
∴AB₁∥BC．
故答案为：AB₁∥BC．

点评：本题考查了旋转的性质的运用，全等三角形的性质的运用，等腰三角形的性质的运用，平行线的判定的运用，解答时证明三角形全等是关键．