Question

15．已知抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点A（-3，0）、B（1，0），且与y轴交于点C，设抛物线的顶点为D．
（1）求点C、D的坐标（用含a的式子表示）；
（2）当a变化时，△ACD能否为直角三角形？若能？求出所有符合条件的a的值；若不能，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据题意可以假设抛物线为y=a（x+3）（x-1）即可求出点C、D坐标．
（2）分两种情形讨论①∠ADC=90°②∠ACD=90°利用勾股定理列出方程求解．

解答 解：（1）∵抛物线y=ax²+bx+c（a＜0）经过点A（-3，0）、B（1，0），
∴可以假设抛物线为y=a（x+3）（x-1）=a（x²+2x-3）=a（x+1）²-4a，
∴顶点D（-1，-4a），
令x=0得y=-3a，得点C（0，-3a），
∴点C（0，-3a），点D（-1，-4a）．
（2）①若∠ADC=90°则有AC²=AD²+DC²，
∴9+9a²=4+16a²+1+a²，
∴a²=$\frac{1}{2}$，
∵a＜0，
∴a=-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．
②若∠DCA=90°则有AD²=AC²+CD²，
∴4+16a²=9+9a²+1+a²，
∴a²=1，
∵a＜0，
∴a=-1，
综上所述a=-1或-$\frac{\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题考查抛物线的解析式的三种形式、勾股定理、分类讨论的数学思想，灵活掌握抛物线的三种形式的应用是解题的关键．