Question

10．如图，直角坐标系中一条圆弧经过正方形网格的格点A（0，4）、B（4，4）、C（6，2）．
（1）利用网格画出该圆弧所在圆的圆心P的位置（不写作法，保留作图痕迹）．
（2）连结PA、PC、AC，直接写出P的坐标和∠APC度数．
（3）求出弓形ABC的面积．
（4）若把扇形PAC围成一个圆锥，求围成圆锥的底面半径．

Answer 1

分析 （1）由网格容易得出AB的垂直平分线和BC的垂直平分线，它们的交点即为点P；
（2）由作图容易得出点P的坐标；连接PA、PC，作CD⊥x轴于D，由SAS证明△AOP≌△PDC，得出对应角相等∠OAP=∠DPC，再由角的互余关系，即可得出∠APC=90°；
（3）弓形ABC的面积=扇形PABC的面积-△APC的面积，即可得出结果；
（4）设圆锥的底面半径为r，由$\widehat{ABC}$的长=$\frac{90π•2\sqrt{5}}{180}$=2πr，即可求出r．

解答 解：（1）如图1所示：P就是求作的点；   
（2）由作图得：点P在x轴上，点P坐标为：（2，0）；
连接PA、PC，作CD⊥x轴于D，如图2所示：
则OA=4，OP=CD=2，OD=6，DP=6-2=4，∠CDP=∠POA=90°，
∴OA=DP，
在△AOP和△PDC中，$\left\{\begin{array}{l}{OA=DP}&{\;}\\{∠POA=∠CDP}&{\;}\\{OP=DC}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AOP≌△PDC（SAS），
∴∠OAP=∠DPC，
∵∠OAP+∠OPA=90°，
∴∠DPC+∠OPA=90°，
∴∠APC=90°；
（3）如图3所示：
弓形ABC的面积=扇形PABC的面积-△APC的面积
=$\frac{90π•（2\sqrt{5}）^{2}}{360}$-$\frac{1}{2}$×2$\sqrt{5}$×2$\sqrt{5}$
=5π-10；
（4）把扇形PAC围成一个圆锥，设圆锥的底面半径为r，
则$\widehat{ABC}$的长=$\frac{90π•2\sqrt{5}}{180}$=2πr，
∴r=$\frac{\sqrt{5}}{2}$，
即围成圆锥的底面半径为$\frac{{\sqrt{5}}}{2}$．

点评 本题是圆的综合题目，考查了确定圆心的方法、线段垂直平分线、全等三角形的判定与性质、弧长公式、扇形面积公式、圆的周长等知识；本题综合性强，有一定难度．