Question

在平面直角坐标系xOy中（O为坐标原点），已知抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，﹣3）．

（1）求b，c的值，并写出该抛物线的对称轴和顶点坐标；

（2）设抛物线的对称轴为直线l，点P（m，n）是抛物线上在第一象限的点，点E与点P关于直线l对称，点E与点F关于y轴对称，若四边形OAPF的面积为48，求点P的坐标；

（3）在（2）的条件下，设M是直线l上任意一点，试判断MP+MA是否存在最小值？若存在，求出这个最小值及相应的点M的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

解：（1）∵抛物线y=x²+bx+c过点A（4，0），B（1，﹣3），

∴．

解得：．

∴y=x²﹣4x=（x﹣2）²﹣4．

∴抛物线的对称轴为x=2，顶点为（2，﹣4）．

（2）如图1，

∵点P（m，n）与点E关于直线x=2对称，

∴点E的坐标为（4﹣m，n）．

∵点E与点F关于y轴对称，

∴点F的坐标为（m﹣4，n）．

∴PF=m﹣（m﹣4）=4．

∴PF=OA=4．

∵PF∥OA，

∴四边形OAPF是平行四边形．

∵S_▱OAPF=OA•=4n=48，

∴n=12．

∴m²﹣4m=n=12．

解得：m₁=6，m₂=﹣2．

∵点P是抛物线上在第一象限的点，

∴m=6．

∴点P的坐标为（6，12）．

（3）过点E作EH⊥x轴，垂足为H，如图2，

在（2）的条件下，有P（6，12），E（﹣2，12），

则AH=4﹣（﹣2）=6，EH=12．

∵EH⊥x轴，即∠EHA=90°，

∴EA²=EH²+AH²=12²+6²=180．

∴EA=6．

∵点E与点P关于直线l对称，

∴MP=ME．

∴MP+MA=ME+MA．

根据“两点之间线段最短”可得：

当点E、M、A共线时，MP+MA最小，最小值等于EA的长，即6．