Question

【题目】如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AB=3，BC=4，CD=10，DA=，则下列结论：①AC⊥BD；②AC⊥CD；③tan∠DAC=2；④四边形ABCD的面积为31；⑤BD=2．正确的是_______．

Answer 1

【答案】②③④⑤

【解析】∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC==5，

在△ACD中,∵CD=10,DA=，

∴AC+CD=25+100=125=DA，

∴∠ACD=90°，即AC⊥CD，故①错误，②正确；

在Rt△ACD中,tan∠DAC= ==2，故③正确；

S四边形ABCD==ABBC+ACCD=×3×4+×5×10=31，

故④正确；

作DM⊥BC，交BC延长线于M，如图所示：

则∠M=90°，

∴∠DCM+∠CDM=90°，

∵∠ABC=90°，AB=3，BC=4，

∴AC=AB+BC=25，

∵CD=10,AD=，

∴AC+CD=AD，

∴△ACD是直角三角形,∠ACD=90°，

∴∠ACB+∠DCM=90°，

∴∠ACB=∠CDM，

∵∠ABC=∠M=90°，

∴△ABC∽△CMD，

∴，

∴CM=2AB=6，DM=2BC=8，

∴BM=BC+CM=10，

∴BD==，故⑤正确；

故答案为：②③④⑤.