Question

7．已知关于x的一元二次方程x²-（2k-4）x+k²-4k=0
（1）求证：方程有两个不相等的实数根；
（2）若△ABC的两边AB，AC的长是这个方程的两个实数根，第三边BC的长为6，当△ABC是等腰三角形时，求k的值．

Answer 1

分析 （1）计算判别式的值得到△=16，然后根据判别式的意义可判断方程有两个不相等的实数根；
（2）利用判别式的意义得到AB与AC不相等，则AB=BC=6或AC=BC=6，则根据一元二次方程解的定义，把x=6代入方程得36-6（2k-4）+k²-4k=0，解得k₁=10，k₂=6，当k=10时，方程化为x²-8x+60=0，利用根与系数的关系得到方程的另一个根为10；当k=6时，方程化为x²-8x+12=0，利用根与系数的关系得到方程的另一个根为2，从而得到k的值为10或6．

解答 （1）证明：△=（2k-4）²-4（k²-4k）
=16＞0，
所以方程有两个不相等的实数根；
（2）解：由于AB与AC不相等，则AB=BC=6或AC=BC=6，
把x=6代入方程得36-6（2k-4）+k²-4k=0，
整理得k²-16k+60=0，解得k₁=10，k₂=6，
当k=10时，方程化为x²-8x+60=0，方程的另一个根为10；
当k=6时，方程化为x²-8x+12=0，方程的另一个根为2；
所以k的值为10或6．

点评 本题考查了根与系数的关系：若x₁，x₂是一元二次方程ax²+bx+c=0（a≠0）的两根时，x₁+x₂=-$\frac{b}{a}$，x₁x₂=$\frac{c}{a}$．也考查了根的判别式和三角形三边的关系．