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7.已知关于x的一元二次方程x2-(2k-4)x+k2-4k=0
(1)求证:方程有两个不相等的实数根;
(2)若△ABC的两边AB,AC的长是这个方程的两个实数根,第三边BC的长为6,当△ABC是等腰三角形时,求k的值.

分析 (1)计算判别式的值得到△=16,然后根据判别式的意义可判断方程有两个不相等的实数根;
(2)利用判别式的意义得到AB与AC不相等,则AB=BC=6或AC=BC=6,则根据一元二次方程解的定义,把x=6代入方程得36-6(2k-4)+k2-4k=0,解得k1=10,k2=6,当k=10时,方程化为x2-8x+60=0,利用根与系数的关系得到方程的另一个根为10;当k=6时,方程化为x2-8x+12=0,利用根与系数的关系得到方程的另一个根为2,从而得到k的值为10或6.

解答 (1)证明:△=(2k-4)2-4(k2-4k)
=16>0,
所以方程有两个不相等的实数根;
(2)解:由于AB与AC不相等,则AB=BC=6或AC=BC=6,
把x=6代入方程得36-6(2k-4)+k2-4k=0,
整理得k2-16k+60=0,解得k1=10,k2=6,
当k=10时,方程化为x2-8x+60=0,方程的另一个根为10;
当k=6时,方程化为x2-8x+12=0,方程的另一个根为2;
所以k的值为10或6.

点评 本题考查了根与系数的关系:若x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时,x1+x2=-ba,x1x2=ca.也考查了根的判别式和三角形三边的关系.

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