Question

27、如图，已知：AB是⊙O的直径，⊙O过AC的中点D，DE⊥BC，垂足为E，
求证：
（1）DE是⊙O的切线；
（2）CD²=CE•CB．

Answer 1

分析：（1）要证DE是⊙O的切线，只要连接OD，求证∠ODE=90°即可；
（2）要证CD²=CE•CB，只需证明△CDE∽△CDB即可．

解答：证明：（1）连接OD，（1分）
∵D是AC的中点，O是AB的中点，
∴OD∥BC．（2分）
∴∠CED=∠ODE=90°．（3分）
∴DE是⊙O的切线．（4分）

（2）连接DB，（5分）
∵AB是直径，
∴∠ADB=∠CDB=90°．（6分）
在△CDB和△CED中，∠C=∠C，∠CDB=∠CED=90°，（7分）
∴△CDB∽△CED．（8分）
∴CD²=CE•CB．（9分）

点评：本题考查的是切线的判定，要证某线是圆的切线，已知此线过圆上某点，连接圆心和这点（即为半径），再证垂直即可．以及乘积的形式通常可以转化为比例的形式，根据相似三角形的性质得出．