Question

某商店计划购进某型号的螺丝、螺母进行销售，有关信息如下表：

	原进价（元/个）	零售价（元/个）	成套售价（元/套）
螺丝	a	1.0	2.0
螺母	a-0.3	0.6	2.0

（1）已知用50元购进螺丝的数量与用20元购进螺母的数量相同，求表中a的值；
（2）若该店购进螺母数量是螺丝数量的3倍还多200个，且两种配件的总量不超过3000个．
①该店计划将一半的螺丝配套（一个螺丝和两个螺母配成一套）销售，其余螺丝、螺母以零售方式销售．请问：怎样进货，才能获得最大利润？最大利润是多少？（用含a的代数式表示）
②由于原材料价格上涨，每个螺丝和螺母的进价都上涨了0.1元．按照①中的最佳进货方案，在销售价不变的情况下，全部售出后，所得利润比①少了260元，请问本次成套的销售量为多少？

Answer 1

（1）依题意得

50

a

=

20

a-0.3

（2分）a=0.5（3分）
经检验：a=0.5是原方程的解，且符合题意．（4分）

（2）①设购进螺丝x个，则购进螺母（3x+200）个，依题意得
x+（3x+200）≤3000，
x≤700（5分）
则成套的卖出时利润为：

1

2

x[2-a-2（a-0.3）]元；单个螺丝的利润为：

1

2

x（1-a）；单个螺母的利润为：（3x+200-x）[0.6-（a-0.3）]，
设利润为y元，则y=

1

2

x[2-a-2(a-0.3)]+

1

2

x(1-a)+(3x+200-x)[0.6-(a-0.3)]，
=（3.6-4a）x+（180-200a）（6分）
解法一：
由已知得

a＜1 a-0.3＜0.6

解得a＜0.9
∵当a＜0.9时，k=3.6-4a＞0，
∴函数y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y随x增大而增大．
∴当x=700时，y_最大=2700-3000a（7分）
解法二：
分两种情况讨论：
当3.6-4a＞0，即a＜0.9时，函数y=（3.6-4a）x+（180-200a）中的y随x增大而增大．
∴当x=700时，y_最大=2700-3000a（7分）
当3.6-4a≤0时，a≥0.9
∵根据成套销售价应高于成本价可得：a+2（a-0.3）≤2，即a≤

13

15

∴此时不符合题意，舍去（8分）

②设成套的销售量为m套，则零售的螺丝为（700-m）个，零售的螺母为（2300-2m）个，依题意得：
m[2-a-2（a-0.3）-0.3]+（700-m）（1-a-0.1）+（2300-2m）[0.6-（a-0.3）-0.1]=-0.2m-3000a+2470（10分）
故：-0.2m-3000a+2470=2700-3000a-260（11分）
解得：m=150（12分）
故成套的销售量为150套．