【题目】科技改变着人们的生活,“高铁出行”已成为人们的日常重要交通方式,如今,河南高铁也在发生着日新月异的变化,2018年我省为连接A、B两座城市之间的高铁运行,某工程勘测队在点E处测得城市A在北偏西16°方向上,城市B在北偏东60°方向上,该勘测队沿正东方向行进了7.5km到达点F处,此时测得城市A在北偏西30°方向上,城市B在北偏东30°方向上
(1)请结合所学的知识判断AB、AE的数量关系,并说明理由;
(2)求城市A和城市B之间的距离为多少公里?(结果精确到1km)(参考数据:≈1.73,cos74°≈0.28,tan74°≈3.49,sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,sin16°≈0.28,cos16°≈0.96)
【答案】(1) AB=AE,理由见解析;(2)城市A和城市B之间距离约为27km.
【解析】
(1)根据题意设立参考点并建立坐标系,标出方向角,利用余角的性质找到相等的对应角,在由题意已得到对应边,证明三角形全等.
(2)构造直角三角形,利用三角函数表示涉及计算的各边,并利用等量关系建立方程并求解即可.
解:(1)AB=AE
理由如下:如图
∵城市A在点E处北偏西16°方向上,城市B在点北偏东60°方向上.
∴∠AEH=90°﹣16°=74°,∠BEF=90°﹣60°=30°
又∵城市A在点F北偏西30°方向上,城市B在点F处北偏东30°方向上.
∴∠AFE=90°﹣30°=60°.∠BFN=90°﹣30°=60°
∴∠EBF=60°﹣30°=30°
∴EF=BF
又∵∠BFA=30°+30°=60°
在△AEF与△ABF中
∴△AEF≌△ABF(SAS)
∴AB=AE
(2)过A作AH⊥MN于点H.
设AE=x,则AH=xsin(90°﹣16°)=xsin74°,HE=xcos(90°﹣16°)=xcos74°
∴HF=xcos74°+7.5
∴在Rt△AHF中,AH=HFtan60°
∴xsin74°=(xcos74°+7.5)tan60°
即0.96x=(0.28x+7.5)×1.73
解得x≈27,即AB≈27
答:城市A和城市B之间距离约为27km.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,顶点为M的抛物线是由抛物线y=x2﹣3向右平移一个单位后得到的,它与y轴负半轴交于点A,点B在该抛物线上,且横坐标为3.
(1)求点M、A、B坐标;
(2)连结AB、AM、BM,求∠ABM的正切值;
(3)点P是顶点为M的抛物线上一点,且位于对称轴的右侧,设PO与x正半轴的夹角为α,当α=∠ABM时,求P点坐标.
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【题目】小明和小亮分别从甲地和乙地同时出发,沿同一条路相向而行,小明开始跑步,中途改为步行,到达乙地恰好用小亮骑自行车以的速度直接到甲地,两人离甲地的路程与各自离开出发地的时间之间的函数图象如图所示,
甲、乙两地之间的路程为______m,小明步行的速度为______;
求小亮离甲地的路程y关于x的函数表达式,并写出自变量x的取值范围;
求两人相遇的时间.
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【题目】如图,在的正方形网格中,每个小正方形的边长都为1,网格中有一个格点(即三角形的顶点都在格点上).
(1)在图中作出关于直线l对称的;(要求A与,B与,C与相对应)
(2)作出绕点C顺时针方向旋转90°后得到的;
(3)在(2)的条件下求出线段CB在旋转中所扫过的面积.(结果保留π)
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【题目】△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D为直线BC上一动点(点D不与B,C重合),以AD为边在AD右侧作正方形ADEF,连接CF.
(1)观察猜想
如图1,当点D在线段BC上时,
①BC与CF的位置关系为: .
②BC,CD,CF之间的数量关系为: ;(将结论直接写在横线上)
(2)数学思考
如图2,当点D在线段CB的延长线上时,结论①,②是否仍然成立?若成立,请给予证明;若不成立,请你写出正确结论再给予证明.
(3)拓展延伸
如图3,当点D在线段BC的延长线上时,延长BA交CF于点G,连接GE.若已知AB=2,CD=BC,请求出GE的长.
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【题目】如图,在平面直角坐标系xOy中,一次函数y=3x+2的图象与y轴交于点A,与反比例函数y=(k≠0)在第一象限内的图象交于点B,且点B的横坐标为1.过点A作AC⊥y轴交反比例函数y=(k≠0)的图象于点C,连接BC.
(1)求反比例函数的表达式.
(2)求△ABC的面积.
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【题目】图1、图2均为圆心角为90°的扇形、请按要求用无刻度的直尺完成下列作图.
(1)在图1中、点M是的中点、请作出线段AB的垂直平分线;
(2)在图2中、点M是的中点,点N又是的三等分点,请作出线段0B的垂直平分线.
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【题目】如图,点A、B在双曲线y=的第一象限分支上,AO的延长线交第三象限的双曲线于C,AB的延长线与x轴交于点D,连接CD与y轴交于点E,若AB=BD,S△ODE=,则k=_____.
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