Question

如图，∠AOB=45°，点P为∠AOB内一点，且OP=4，M为OA上一点，N为OB上一点，则△PMN的周长的最小值为（　　）

• A、4

  2

• B、4

  3

• C、4
• D、2

  2

Answer 1

分析：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．根据对称的性质可以证得：△COD是等腰直角三角形，据此即可求解．

解答：解：作P关于OA，OB的对称点C，D．连接OC，OD．则当M，N是CD与OA，OB的交点时，△PMN的周长最短，最短的值是CD的长．
∵PC关于OA对称，
∴∠COP=2∠AOP，OC=OP，
同理，∠DOP=2∠BOP，OP=OD，
∴∠COD=∠COP+∠DOP=2（∠AOP+∠BOP）=2∠AOB=90°，OC=OD．
∴△COD是等腰直角三角形．
则CD=

2

OC=4

2

．
故选A．

点评：本题考查了对称的性质，等腰直角三角形的判定和性质以及勾股定理的运用，解题的关键是正确作出图形，理解△PMN周长最小的条件是解题的关键．