Question

【题目】如图，二次函数y＝﹣x2+4x+5图象的顶点为D，对称轴是直线1，一次函数yx+1的图象与x轴交于点A，且与直线DA关于l的对称直线交于点B．

（1）点D的坐标是　 ；

（2）直线l与直线AB交于点C，N是线段DC上一点（不与点D、C重合），点N的纵坐标为n．过点N作直线与线段DA、DB分别交于点P、Q，使得△DPQ与△DAB相似．

①当n时，求DP的长；

②若对于每一个确定的n的值，有且只有一个△DPQ与△DAB相似，请直接写出n的取值范围　　．

Answer 1

【答案】（1）（2，9）；（2）①DP或DP；②n.

【解析】

（1）直接用顶点坐标公式求即可；

（2）由对称轴可知点C（2，），A（，0），点A关于对称轴对称的点（，0），借助AD的直线解析式求得B（5，3）；①当n=时，N（2，），可求DA=，DN=，CD=，当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，DP=DP=；当PQ与AB不平行时，DP=；②当PQ∥AB，DB=DP时，DB=，DN=，所以N（2，），则有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，n；

解：（1）顶点为D（2，9）；

故答案为（2，9）；

（2）对称轴x＝2，

∴C（2，），

由已知可求A（，0），

点A关于x＝2对称点为（，0），

则AD关于x＝2对称的直线为y＝﹣2x+13，

∴B（5，3），

①当n=时，N（2，），

∴DA=，DN=，CD=，

当PQ∥AB时，△DPQ∽△DAB，

∵△DAC∽△DPN，

∴，

∴DP=；

当PQ与AB不平行时，△DPQ∽△DBA，

∴△DNQ∽△DCA，

∴，

∴DP，

综上所述，DP或DP；

②当PQ∥AB，DB＝DP时，DB＝，

∴

∴DN

∴N（2，），

∴有且只有一个△DPQ与△DAB相似时，n；

故答案为：n；