分析 (1)①依题意补全图1
②延长DF交AB于点G,根据三角形中位线的判定得出点G为AB的中点,根据中位线的性质及已知条件AC=BC,得出DC=DG,从而EC=FG,易证∠1=∠2=90°-∠DFC,∠CEF=∠FGH=135°,由AAS证出△CEF≌△FGH.所以CF=FH.
(2)通过证明△CEF≌△FGH(ASA)得出FC=FH,再求出FC的长,即可解答.
解答 解:(1)①如图1,
②FH与FC的数量关系是:FH=FC.
证明如下:如图2,延长DF交AB于点G,
由题意,知∠EDF=∠ACB=90°,DE=DF,
∴DG∥CB,
∵点D为AC的中点,
∴点G为AB的中点,且DC=$\frac{1}{2}$AC,
∴DG为△ABC的中位线,
∴DG=$\frac{1}{2}$BC.
∵AC=BC,
∴DC=DG,
∴DC-DE=DG-DF,
即EC=FG.
∵∠EDF=90°,FH⊥FC,
∴∠1+∠CFD=90°,∠2+∠CFD=90°,
∴∠1=∠2.
∵△DEF与△ADG都是等腰直角三角形,
∴∠DEF=∠DGA=45°,
∴∠CEF=∠FGH=135°,
在△CEF和△FGH中,
$\left\{\begin{array}{l}{∠1=∠2}\\{∠CEF=∠FGH}\\{FC=FH}\end{array}\right.$
∴△CEF≌△FGH,
∴CF=FH.
(2)如图3,
∴∠DFE=∠DEF=45°,
∵AC=BC,
∴∠A=∠CBA=45°,
∵DF∥BC,
∴∠CBA=∠FGB=45°,
∴∠FGH=∠CEF=45°,
∵点D为AC的中点,DF∥BC,
∴DG=$\frac{1}{2}$BC,DC=$\frac{1}{2}$AC,
∴DG=DC,
∴EC=GF,
∵∠DFC=∠FCB,
∴∠GFH=∠FCE,
在△FCE和△HFG中
$\left\{\begin{array}{l}{∠CEF=∠FGH}\\{EC=GF}\\{∠ECF=∠GFH}\end{array}\right.$,
∴△FCE≌△HFG(ASA),
∴HF=FC,
∵∠EDF=90°,DE=DF,
∴∠DEF=∠DFE=45°,
∵∠CFE=15°,
∴∠DFC=45°-15°=30°,
∴CF=2CD,DF=$\sqrt{3}$CD,
∵DE=DF,CE=$\sqrt{2}$.
∴$\sqrt{2}$+CD=$\sqrt{3}$CD,
∴CD=$\frac{\sqrt{6}+\sqrt{2}}{2}$,
∴CF=2CD=$\sqrt{6}+\sqrt{2}$.
∵∠CFH=90°,
∴△FCH的面积为:CF•CH•$\frac{1}{2}$=$(\sqrt{6}+\sqrt{2})×(\sqrt{6}+\sqrt{2})×\frac{1}{2}$=4+2$\sqrt{3}$.
点评 本题考查了全等三角形的判定和性质、三角形中位线定理等知识,综合性强,解决本题的关键是证明FC=FH.
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
科目:初中数学 来源: 题型:解答题
查看答案和解析>>
湖北省互联网违法和不良信息举报平台 | 网上有害信息举报专区 | 电信诈骗举报专区 | 涉历史虚无主义有害信息举报专区 | 涉企侵权举报专区
违法和不良信息举报电话:027-86699610 举报邮箱:58377363@163.com