【题目】如图,是的边上一点,,交于点,若.
(1)求证:四边形是平行四边形;
(2)若,,求四边形的面积.
【答案】(1)证明见解析;(2)25.
【解析】
(1)首先利用ASA得出△DAF≌△ECF,进而利用全等三角形的性质得出CE=AD,即可得出四边形ACDE是平行四边形;
(2)由AE⊥EC,四边形ADCE是平行四边形,可推出四边形ADCE是矩形,由F为AC的中点,求出AC,根据勾股定理即可求得AE,由矩形面积公式即可求得结论.
解:(1)证明:∵CE∥AB,
∴∠BAC=∠ECA,
在△DAF和△ECF中,
,
∴△DAF≌△ECF(ASA),
∴CE=AD,
∴四边形ADCE是平行四边形;
(2)∵AE⊥EC,四边形ADCE是平行四边形,
∴四边形ADCE是矩形,
在Rt△AEC中,F为AC的中点,
∴AC=2EF=10,
∴AE2=AC2-EC2=102-52=75,
∴AE=5,
∴四边形ADCE的面积=AEEC=25.
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【题目】小涛根据学习函数的经验,对函数的图像与性质进行了探究,下面是小涛的探究过程,请补充完整:
(1)下表是与的几组对应值
... | -2 | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | ... | ||
... | -8 | -3 | 0 | m | n | 1 | 3 | ... |
请直接写出:=, m=, n=;
(2)如图,小涛在平面直角坐标系中,描出了上表中已经给出的部分对应值为坐标的点,再描出剩下的点,并画出该函数的图象;
(3)请直接写出函数的图像性质:;(写出一条即可)
(4)请结合画出的函数图象,解决问题:若方程有三个不同的解,直接写出的取值范围.
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【题目】随着科技的进步和网络资源的丰富,在线学习已经成为更多人自主学习的选择.某校计划为学生提供以下四类在线学习方式:在线阅读、在线听课、在线答题和在线讨论.为了解学生需求,该校随机对本校部分学生进行了“你对哪类在线学习方式最感兴趣”的调查,并根据调查结果绘制成如下两幅不完整的统计图.
请你根据统计图中提供的信息解答下列问题:
(1)求本次调查的学生总人数;
(2)通过计算补全条形统计图;
(3)该校共有学生人,请你估计该校对在线阅读最感兴趣的学生有多少人.
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【题目】A、B两地之间有一修理厂C,一日小海和王陆分别从A、B两地同时出发相向而行,王陆开车,小海骑摩托.二人相遇时小海的摩托车突然出故障无法前行,王陆决定将小海和摩托车一起送回到修理厂C后再继续按原路前行,王陆到达A地后立即返回B地,到B地后不再继续前行,等待小海前来(装载摩托车时间和掉头时间忽略不计),整个行驶过程中王陆速度不变,而小海在修理厂花了十分钟修好摩托车,为了赶时间,提速前往目的地B,小海到达B地后也结束行程,若图象表示的是小海与王陆二人到修理厂C的距离和y(km)与小海出行时间之间x(h)的关系,则当王陆第二次与小海在行驶中相遇时,小海离目的地B还有_____km.
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【题目】如图1和图2,在△ABC中,AB=13,BC=14,.
探究:如图1,AH⊥BC于点H,则AH=___,AC=___,△ABC的面积=___.
拓展:如图2,点D在AC上(可与点A、C重合),分别过点A、C作直线BD的垂线,垂足为E、F,设BD=x,AE=m,CF=n,(当点D与A重合时,我们认为=0).
(1)用含x、m或n的代数式表示及;
(2)求(m+n)与x的函数关系式,并求(m+n)的最大值和最小值;
(3)对给定的一个x值,有时只能确定唯一的点D,指出这样的x的取值范围.
发现:请你确定一条直线,使得A、B、C三点到这条直线的距离之和最小(不必写出过程),并写出这个最小值.
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【题目】2019 年3月16日,由中国科协主办的第六届全国青年科普创新实验暨作品大赛启动,重点围绕“智能、环保、教育”三大主题,某中学派出甲、乙两组队伍参加本次大赛,有四个命题供他们选择:
①智能:智能控制及人工智能命题(用表示)
②环保:包括生物环境、风能两个命题(分别用表示)
③教育:未来教育命题(用表示)
甲组队伍在四个命题中随机选取一个报名 ,恰好选择“教育”主题的概率是多少?
若甲,乙两组队伍各随机从四个命题中选--个报名.请用树状图法或列表法求出他们都选择“环保”主题的概率.
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【题目】如图①在中,若点在边上,且则点定义为的边上的“金点”.
已知点是的边上的“金点”:
①若则的长为 _;
②若则的长为 _;
在图①中,若点是的边的中点,试判断点是不是的“金
点”,并说明理由;
如图②,已知点为同一直线上三点,且在所在直线上是否存在一点使点中的某一点是其余三点围成的三角形的“金点”.若存在,求出线段的长;若不存在,请说明理由.
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【题目】如图,在平行四边形ABCD中,按以下步骤作图:①以A为圆心,任意长为半径作弧,分别交AB,AD于点M,N;②分别以M,N为圆心,以大于MN的长为半径作弧,两弧相交于点P;③作AP射线,交边CD于点Q,若DQ=2QC,BC=3,则平行四边形ABCD周长为________.
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【题目】如图,直线y=﹣x+3与x轴交于点A,与y轴交于点B.抛物线y=﹣x2+bx+c经过A、B两点,与x轴的另一个交点为C.
(1)求抛物线的解析式;
(2)点P是第一象限抛物线上的点,连接OP交直线AB于点Q.设点P的横坐标为m,PQ与OQ的比值为y,求y与m的关系式,并求出PQ与OQ的比值的最大值;
(3)点D是抛物线对称轴上的一动点,连接OD、CD,设△ODC外接圆的圆心为M,当sin∠ODC的值最大时,求点M的坐标.
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