Question

如图，已知AC平分∠BAD，CE⊥AB于E，CF⊥AD于F，且BC=CD．
（1）求证：DF=BE；
（2）若AB=10，AD=8，求AE的长．

Answer 1

分析：（1）根据角平分线的性质可以得出CF=CE，在证明Rt△CFD≌Rt△CEB就可以得出DF=BE；
（2）先证明△CAF≌△CAE，就可以得出AF=AE，设DF=BE=x，就可以得出8+x=10-x，求出方程的解即可．

解答：（1）证明：∵AC平分∠BAD，CE⊥AB，CF⊥AD，
∴CF=CE，∠CFD=∠CEB=90°．
在Rt△CFD和Rt△CEB中，

CD=BC CF=CE

，
∴△CFD≌Rt△CEB（HL），
∴DF=BE．

（2）解：∵AC平分∠BAD，
∴∠FAC=∠BAC．
在△CAF和△CAE中

∠CFD=∠CEB ∠FAC=∠BAC AC=AC

，
∴△CAF≌△CAE（AAS）
∴AF=AE．
设DF=BE=x，由题意，得
8+x=10-x，
解得：x=1．
∴AE=10-1=9．
答：AE=9

点评：本题考查了角平分线的性质的运用，全等三角形的判定及性质的运用，列一元一次方程解实际问题的运用，解答时证明三角形的全等是关键．