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如图,在⊙M中,弧AB所对的圆心角为120°,已知⊙M的半径为2cm,并建立如图所示的直角坐标系.
(1)求圆心M的坐标;
(2)求经过A,B,C三点的抛物线的解析式;
(3)点D是弦AB所对的优弧上一动点,求四边形ACBD的最大面积.
【答案】分析:(1)连接MA,MB,根据等腰三角形的性质可知∠AMO=AMB=60°,由直角三角形的性质可求出M点的坐标.
(2)根据△AOM与△BOM是直角三角形,∠AMO=∠BMO=60°,可求出A、B两点的坐标,因为A、B两点关于y轴对称,故此抛物线关于y轴对称,根据此特点可设出抛物线的解析式,把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值,从而求出其解析式.
(3)因为四边形ACBD的面积等于△ABC与△ABD的面积之和,而△ABC的面积为定值,△ABD的底边长为定值,故当△ABD的高最长时四边形的面积最大.根据直径是最长的弦可知当D在y轴上时△ABD的高最长.根据三角形的面积公式及圆的半径长可计算出四边形的面积.
解答:解:(1)连MA,MB,
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°
∴∠BMO=∠AMB=60°
∴∠OBM=30°  2分
∴OM=MB=1  1分
∴M(0,1)1分

(2)∵OC=MC-MO=1  OB==
∴C(0,-1)B(,O)  2分
∵经过A,B,C三点的抛物线关于y轴对称
∴设经过A,B,C三点的抛物线的解析式为y=ax2+c  1分
把C(0,-1)和(,0)分别代入上式
得:a=,c=-1   1分
∴y=x2-1.   1分

(3)∵S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD,又S△ABC与AB均为定值1分
∴当△ABD边上的高最大时,S△ABD最大,
此时点D为⊙M与y轴交点,由于⊙M的半径为2cm,OM=1cm
∴OD=3cm,
此时S四边形ACBD=S△ABC+S△ABD=×2×1+×2×3=+3=4cm2
点评:本题考查的是圆的性质及二次函数图象上点的坐标特点,比较复杂,但难度适中.
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