Question

如图，在⊙M中，弧AB所对的圆心角为120°，已知⊙M的半径为2cm，并建立如图所示的直角坐标系．
（1）求圆心M的坐标；
（2）求经过A，B，C三点的抛物线的解析式；
（3）点D是弦AB所对的优弧上一动点，求四边形ACBD的最大面积．

Answer 1

【答案】分析：（1）连接MA，MB，根据等腰三角形的性质可知∠AMO=AMB=60°，由直角三角形的性质可求出M点的坐标．
（2）根据△AOM与△BOM是直角三角形，∠AMO=∠BMO=60°，可求出A、B两点的坐标，因为A、B两点关于y轴对称，故此抛物线关于y轴对称，根据此特点可设出抛物线的解析式，把A、B两点的坐标代入即可求出未知数的值，从而求出其解析式．
（3）因为四边形ACBD的面积等于△ABC与△ABD的面积之和，而△ABC的面积为定值，△ABD的底边长为定值，故当△ABD的高最长时四边形的面积最大．根据直径是最长的弦可知当D在y轴上时△ABD的高最长．根据三角形的面积公式及圆的半径长可计算出四边形的面积．
解答：解：（1）连MA，MB，
∵MA=MB OM⊥AB∠AMB=120°
∴∠BMO=∠AMB=60°
∴∠OBM=30°  2分
∴OM=MB=1  1分
∴M（0，1）1分

（2）∵OC=MC-MO=1  OB==
∴C（0，-1）B（，O）  2分
∵经过A，B，C三点的抛物线关于y轴对称
∴设经过A，B，C三点的抛物线的解析式为y=ax²+c  1分
把C（0，-1）和（，0）分别代入上式
得：a=，c=-1   1分
∴y=x²-1．   1分

（3）∵S_{四边形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD，又S_△ABC与AB均为定值1分
∴当△ABD边上的高最大时，S_△ABD最大，
此时点D为⊙M与y轴交点，由于⊙M的半径为2cm，OM=1cm
∴OD=3cm，
此时S_{四边形ACBD=}S_△ABC+S_△ABD=×2×1+×2×3=+3=4cm²．
点评：本题考查的是圆的性质及二次函数图象上点的坐标特点，比较复杂，但难度适中．