Question

11．如图所示，AB为⊙O的直径，D为$\widehat{AC}$的中点，AC、BD交于点E，P为BD延长线上一点，且PD=DE．
（1）求证：PA与⊙O相切．
（2）若AB=10，$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{9}$，求CE的长．

Answer 1

分析 （1）如图，连接AD、BC．欲证明PA是切线，只要证明∠PAB=90°即可．
（2）由$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{9}$，设BE=7k，DE=9k，可证△DAE∽△DBA，得AD²=DE•DB=144k²，推出AD=12k，在Rt△ADB中，由AD²+BD²=AB²，可得144k²+256k²=100，
得k=$\frac{1}{2}$，AD=6，DE=$\frac{9}{2}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，BE=$\frac{9}{2}$，再由△DEA∽△CEB，得$\frac{ED}{CE}$=$\frac{AE}{EB}$，由此即可解决问题．

解答 （1）证明：如图，连接AD、BC．

∵AB是直径，
∴∠ADB=90°，
∴AD⊥PE，∵DP=DE，
∴AP=AE，
∴∠PAD=∠DAE，
∵$\widehat{AD}$=$\widehat{CD}$，
∴∠DAC=∠ABD，
∵∠ABD+∠DAB=90°，
∴∠PAD+∠DAB=90°，
∴∠PAB=90°，
∴OA⊥PA，
∴PA是⊙O的切线．

（2）解：∵$\frac{BE}{DE}$=$\frac{7}{9}$，设BE=7k，DE=9k，
∵∠ADE=∠ADB，∠DAE=∠DBA，
∴△DAE∽△DBA，
∴AD²=DE•DB=144k²，
∴AD=12k，
在Rt△ADB中，∵AD²+BD²=AB²，
∴144k²+256k²=100，
∴k=$\frac{1}{2}$，
∴AD=6，DE=$\frac{9}{2}$，AE=$\sqrt{A{D}^{2}+D{E}^{2}}$=$\frac{15}{2}$，BE=$\frac{9}{2}$，
∵∠ADE=∠ECB，∠DEA=∠CDB，
∴△DEA∽△CEB，
∴$\frac{ED}{CE}$=$\frac{AE}{EB}$，
∴CE=$\frac{DE•EB}{AE}$=$\frac{21}{10}$．

点评 本题考查切线的判定和性质、勾股定理、相似三角形的判定和性质等知识，解题的关键是利用相似三角形的性质解决问题，学会利用参数，构建方程，属于中考常考题型．