Question

13．如图，在四边形ABCD中，AB=BC，BF是∠ABC的平分线，连接AB．
（1）若AF∥DC，求证：CA是∠DCF的平分线．
（2）命题（1）的逆命题可表述为：
若∠FCA=∠DCA，求证AF∥DC
该命题的真假性：真（填“真”或“假”）．

Answer 1

分析 （1）先证△ABF≌△CBF，得出AF=FC，利用等腰三角形的性质可知∠3=∠4，再利用平行线的性质可证出∠4=∠5，等量代换，可得：∠3=∠5．那么AC就是∠DCF的平分线．
（2）根据BF平分∠ABC可得∠ABF=∠CBF，再加上AB=BC，BF=BF就可以推出△ABF≌△CBF，依据全等三角形对应边相等的性质可以推出AF=CF，进而可得∠CAF=∠FCA，然后再证明∠DCA=∠FAC可得结论．

解答 （1）证明：∵BF是∠ABC的平分线，
∴∠ABF=∠CBF，
在△AFB和△CFB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABF=∠CBF}&{\;}\\{BF=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△ABF≌△CBF（SAS），
∴FA=FC，
∴∠3=∠4，
又AF∥DC，
∴∠4=∠5，
∴∠3=∠5，
∴CA是∠DCF的平分线．
（2）逆命题为：若∠FCA=∠DCA，求证AF∥DC，真命题；理由如下：
∵BF平分∠ABC，
∴∠ABF=∠CBF，
在△AFB和△CFB中，$\left\{\begin{array}{l}{AB=BC}&{\;}\\{∠ABF=∠CBF}&{\;}\\{BF=BF}&{\;}\end{array}\right.$，
∴△AFB≌△CFB（SAS），
∴AF=CF，
∴∠CAF=∠FCA，
∵CA是∠DCF的平分线，
∴∠FCA=∠DCA，
∴∠DCA=∠FAC，
∴AF∥DC；
故答案为：若∠FCA=∠DCA，求证AF∥DC；真．

点评 此题主要考查了平行线的判定以及全等三角形的判定与性质，证明三角形全等是关键．