Question

【题目】已知正方形ABCD与正方形CEFG，M是AF的中点，连接DM，EM．

（1）如图1，点E在CD上，点G在BC的延长线上，请判断DM，EM的数量关系与位置关系，并直接写出结论；

（2）如图2，点E在DC的延长线上，点G在BC上，（1）中结论是否仍然成立？请证明你的结论．

Answer 1

【答案】（1）DM⊥EM，DM＝EM，见解析；（2）DM⊥EM，DM＝EM，见解析.

【解析】

（1）根据全等三角形的性质推出MH=ME，AH=EF=EC，推出DH=DE，因为∠EDH=90°，可得DM⊥EM，DM=ME；

（2）结论不变，延长EM交DA的延长线于H，由正方形的性质和平行线的性质，得到边和角的关系，可以证明△AMH≌△FME，然后得到MH＝ME，AH＝EF＝EC，进而得到结论.

解：（1）结论：DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如图1中，延长EM交AD于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME（AAS），

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME；

（2）如图2中，结论不变．DM⊥EM，DM＝EM．

理由：如图2中，延长EM交DA的延长线于H．

∵四边形ABCD是正方形，四边形EFGC是正方形，

∴∠ADE＝∠DEF＝90°，AD＝CD，

∴AD∥EF，

∴∠MAH＝∠MFE，

∵AM＝MF，∠AMH＝∠FME，

∴△AMH≌△FME，

∴MH＝ME，AH＝EF＝EC，

∴DH＝DE，

∵∠EDH＝90°，

∴DM⊥EM，DM＝ME．