Question

18．矩形ABCD中，AB=4，AD=3，P，Q是对角线BD上不重合的两点，点P关于直线AD，AB的对称点分别是E，F，点Q关于直线BC，CD的对称点分别是点G，H，若由点E，F，G，H构成的四边形恰好为菱形，求PQ的长．

Answer 1

分析 如解答图所示，本题要点如下：
（1）证明矩形的四个顶点A、B、C、D均在菱形EFGH的边上，且点A、C分别为各自边的中点；
（2）证明菱形的边长等于矩形的对角线长；
（3）求出线段AP的长度，证明△AOP为等腰三角形；
（4）利用勾股定理求出线段OP的长度；
（5）同理求出OQ的长度，从而得到PQ的长．

解答 解：由矩形ABCD中，AB=4，AD=3，可得对角线AC=BD=5．
依题意画出图形，如右图所示．
由轴对称性质可知，∠PAF+∠PAE=2∠PAB+2∠PAD=2（∠PAB+∠PAD）=180°，
∴点A在菱形EFGH的边EF上．同理可知，点B、C、D均在菱形EFGH的边上．
∵AP=AE=AF，∴点A为EF中点．同理可知，点C为GH中点．
连接AC，交BD于点O，则有AF=CG，且AF∥CG，
∴四边形ACGF为平行四边形，
∴FG=AC=5，即菱形EFGH的边长等于矩形ABCD的对角线长．
∴EF=FG=5，
∵AP=AE=AF，
∴AP=$\frac{1}{2}$EF=2.5．
∵OA=$\frac{1}{2}$AC=2.5，
∴AP=AO，即△APO为等腰三角形．
过点A作AN⊥BD交BD于点N，则点N为OP的中点．
由S_△ABD=$\frac{1}{2}$AB•AD=$\frac{1}{2}$AC•AN，可求得：AN=2.4．
在Rt△AON中，由勾股定理得：ON=$\sqrt{O{A}^{2}-A{N}^{2}}$=$\sqrt{2．{5}^{2}-2．{4}^{2}}$=0.7，
∴OP=2ON=1.4；
同理可求得：OQ=1.4，
∴PQ=OP+OQ=1.4+1.4=2.8．

点评 本题是几何变换综合题，难度较大．首先根据题意画出图形，然后结合轴对称性质、矩形性质、菱形性质进行分析，明确线段之间的数量关系，最后由等腰三角形和勾股定理求得结果．