Question

【题目】如图，将边长为6的正方形纸片ABCD对折，使AB与DC重合，折痕为EF，展平后，再将点B折到边CD上，使边AB经过点E，折痕为GH，点B的对应点为M，点A的对应点为N．

（1）若CM=x，则CH= （用含x的代数式表示）；

（2）求折痕GH的长．

Answer 1

【答案】（1）；（2）．

【解析】

试题分析：（1）利用翻折变换的性质结合勾股定理表示出CH的长即可；

（2）首先得出△EDM∽△MCH，进而求出MC的长，再利用△NEG∽△DEM，求出NG的长，再利用勾股定理得出GH的长．

试题解析：（1）∵CM=x，BC=6，∴设HC=y，则BH=HM=6﹣y，故，整理得：，故答案为：；

（2）∵四边形ABCD为正方形，∴∠B=∠C=∠D=90°，设CM=x，由题意可得：ED=3，DM=6﹣x，∠EMH=∠B=90°，故∠HMC+∠EMD=90°，∵∠HMC+∠MHC=90°，∴∠EMD=∠MHC，∴△EDM∽△MCH，∴，即，解得：=2，=6（不合题意舍去），∴CM=2，∴DM=4，∴在Rt△DEC中，由勾股定理得：EM=5，∴NE=MN﹣EM=6﹣5=1，∵∠NEG=∠DEM，∠N=∠D，∴△NEG∽△DEM，∴，∴，解得：NG=，由翻折变换的性质，得AG=NG=，过点G作GP⊥BC，垂足为P，则BP=AG=，GP=AB=6，当x=2时，CH=，∴PH=BC﹣HC﹣BP==2，在Rt△GPH中，GH===．